定义1 均线^[9] 均线即股票价格的移动平均线.使用统计分析的方法, 将一定时间周期内的证券价格加以平均, 并连接不同时间点的平均值.

从时间周期由短到长, 将均线分成7根.如图1所示, MA5、MA10、MA20、MA30、MA60、MA120、MA250可依次使用M₁, M₂, ···, M₇表示.7根均线作为股市的基础指标, 包含股市不同周期的价值信息, 反映股市趋势变化的本质, 广泛应用于股市研究工作中.

图1

Fig.1

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	图1 上证指数的7根均线Fig.1 Seven moving averages of shanghai stock index

股市的均线具有方向、斜率、位置关系等多个特征, 这些特征结构关系决定均线趋势和趋势力度, 均线趋势的力度可理解为均线能量.均线趋势主要有三种:上行、横盘和下行.

定义2 均线能量 设均线的特征集合X={X₁, X₂, ···, X_n}, 集合中要素之间的结构关系决定均线维持当前趋势的能力大小, 称为均线能量(用Y表示), 则有Y=f(X₁, X₂, ···, X_n), 其中函数f为一种映射关系.

定义3 马尔可夫毯^[22] 在一个贝叶斯网络中, 一个结点X_i的马尔可夫毯由X_i的父结点、子结点和子结点的父结点组成, 结点X_i与贝叶斯网中所有非马尔可夫毯结点条件独立.结点X_i的马尔可夫毯使用MB(X_i)表示, 关系式为

P(X_i|MB(X_i))=P(X_i|Z, MB(X_i)),

其中Z为贝叶斯网络中所有非马尔可夫毯结点.

令S表示均线趋势, MB(S)表示均线趋势的马尔可夫毯, 满足X_i∈ MB(S), 利用条件概率P(S|X₁, X₂, ···, X_n)计算均线能量, 均线能量用Y表示.条件概率P(S|X₁, X₂, ···, X_n)表示当前均线内部特征组合为X₁, X₂, ···, X_n时, 均线趋势为S的概率.它结合均线趋势和均线内部特征, 反映均线趋势与均线特征组合之间的关联, 体现均线对自身趋势的维持能力.具体可表示为

$\begin{aligned} Y=& P\left(S=s_{j} \mid X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)=\\ & \frac{P\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \mid S=s_{j}\right) P\left(S=s_{j}\right)}{P\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)} \end{aligned}$ (1)

其中, 1≤ j≤ 3, s₁、s₂、s₃分别表示均线的上行、横盘和下行三种状态, Y表示s_j状态时的均线能量.通过马尔可夫毯融合的均线能量满足0≤ Y≤ 1, 对于不同均线, 根据均线对自身趋势的维持能力将其分为难以维持自身趋势、基本维持自身趋势和较好维持自身趋势3个状态, 分别离散化成-1、0和1这3个值.

多根均线之间的排列关系形成均线结构, 均线之间不同的位置关系对股市价格走势的影响力不同, 在时间上这种位置关系也会不断变化.基本的结构关系如下.

1)均线交叉.两根不同均线存在交叉关系, 时间周期较短的均线自下而上地穿过周期较长的均线, 形成均线金叉关系, 对任两根均线值, M_i> M_j, 其中1≤ i< j≤ 7, 金叉支持股市价格向上运行.均线死叉形成过程与金叉相反, 死叉结构:M_i< M_j, 其中1≤ i< j≤ 7, 死叉支持股市价格向下运行.图1中①箭头所指位置表示两根均线金叉, ②箭头所指位置表示两根均线死叉.

2)均线排列.均线根据周期长短, 从小到大有序排列, 形成多头结构; 否则, 从大到小有序排列, 形成空头结构.如图1中③箭头所指位置为均线多头结构.多头结构表示均线结构支持股市价格的能量较大; 空头结构表示均线结构支持股市价格下行的能量较大.均线多头结构中每根均线值的大小关系描述为M₁< M₂< M₃< M₄< M₅< M₆< M₇.

3)均线杂乱结构.不同周期均线之间相互穿插、缠绕, 杂乱无章, 形成杂乱结构.杂乱结构表示均线结构支持股市横盘态势.

均线之间的结构关系在时间上的变化对股市趋势产生重要影响, 因此, 可利用动态贝叶斯网络建模多均线之间的结构关系.

动态灵敏性分析是研究非目标结点的扰动对目标结点条件概率产生的影响, 其中灵敏性函数^[26]是非目标结点和目标结点之间的条件概率函数.对于已给定的分层动态贝叶斯网络, 参数

θ=P(Vⁱ=v_i|Pa(Vⁱ)=pa(Vⁱ)),

v_i表示Vⁱ结点的一个取值, pa(Vⁱ)表示Vⁱ结点父结点的某一组取值.

目标结点Q_t为股市当前趋势,

P(Q_t=q_t|E₁=e₁, E₂=e₂, ···, E_T=e_t)

表示证据变量E在不同时间片时的取值为e₁, e₂, ···, e_t; 变量Q_t表示取值为q_t的后验概率, 可表示为P(q_t|e₁, e₂, ···, e_t).目标概率P(q_t|e₁, e₂, ···, e_t)对于参数θ的灵敏性可用灵敏性函数P(q_t|e₁, e₂, ···, e_t)(θ)表示^{[20, 26]}, 具体描述如下:

P(q_t|e₁, e₂, ···, e_t)(θ)= P(qt, e1, e2, ···, et)(θ)P(e1, e2, ···, et)(θ)= αθ+βγθ+σ,

其中, α 、β 、γ 、σ 表示常量, P(q_t, e₁, e₂, ···, e_t)(θ)表示q和e关于θ联合概率分布, 对于∀ θ, 满足

∑q∑eP(q_t, e₁, e₂, ···, e_t)(θ)=1,

P(e₁, e₂, ···, e_t)(θ)表示e关于θ的先验概率.

定义4 接口^[20] 接口是包含一个时间片内所有的向下一个时间片发出弧的结点集合, 时间片t的接口表示为I_t.

定义5 势^[20] 势是一个非负的实函数, 将变量或变量集的概率分布映射到一个与每个实例对应的非负实函数, 表示为ϕ .设C为一个团, 则C的概率势函数可表示为

ϕ _C= ∏Vi∈Cp(Vⁱ|pa(Vⁱ)).(2)

设对于∀ C_i, 有 ϕCi=p( VCi), 则V={Vⁱ, Vⁱ⁺¹, ···, Vⁿ}的联合概率分布并不等于

P(V)= ∏Ciϕ ( XCi).

对于任意2个相邻时间片t-1和t的网络, 接口I_t-1可将这2个时间片进行有向分隔.保留I_t-1的结点, 再和t时间片的网络结合, 如图3所示, 包含接口I_t-1={Vt-13, Vt-15}和接口I_t={Vt3, Vt5}及t时间的非接口结点{Vt1, Vt2, Vt4, Vt6, Vt7}.

图3

Fig.3

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	图3 当前时间片和前一时间片的接口Fig.3 Interface between current time slice and previous time slice

通过正规化、三角化等操作, 可生成联合树JT_t, 如图4所示, JT_t通过接口I_t-1和接口I_t进行前向或后向信息传递.构造联合树JT_t仅考虑相邻时间片的证据e_t-1和当前时间片证据e_t即可, 当顶层网络满足一阶马尔可夫性和齐次性时, 单个结点的灵敏性函数可表示为

P(q_t|e_t-1, e_t)(θ)= P(qt, et-1, et)(θ)P(et-1, et)(θ)= αθ+βγθ+σ,

其中, 目标结点Q_t的状态q_t仅与t和t-1时间片的非目标结点有关, 且对于∀ θ, 满足0≤ θ≤ 1.

图4

Fig.4

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	图4 联合树Fig.4 Junction Tree

利用定义5对非目标结点所在团进行边缘化操作, 用于求解势函数, 并通过证据分发和证据收集确定该结点的灵敏性函数的具体形式.灵敏性函数表示目标结点条件概率对于非目标结点状态变化的灵敏性, 判别参数变化对目标结点条件概率产生影响的常用方法^[17]是对灵敏函数进行求导, 求导结果的绝对值越大, 表明灵敏性越高.结合网络中非目标结点、目标结点和证据结点, 任意单个结点的影响程度可表示为

$\operatorname{IM}\left(V^{i}\right)=\frac{1}{r w} \sum_{p} \sum_{q_{t}, e}\left|\frac{P\left(q_{t} \mid e_{t-1}, e_{t}\right)(\theta)}{\partial \theta}\right|$, (3)

其中, r表示趋势q_t的取值个数, w表示e的取值个数, p表示结点Vⁱ中参数的个数, IM(Vⁱ)表示结点Vⁱ能量的影响程度.

在股市的分层动态贝叶斯网络中, 通常多个因素同时对于股市走势产生重要影响, 因而需要对多个结点同时进行扰动分析.

定理1 对分层动态贝叶斯网络中k个结点{V¹, V², ···, V^k}进行扰动分析, {θ₁, θ₂, ···, θ _k}是对应结点表示的参数, {V¹, V², ···, V^k}中任意两个结点不在同一个团中, 则多结点动态灵敏性分析公式可表示为

$P\left(q_{t} \mid e_{t-1}, e_{t}\right)\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{k}\right)=\prod_{i=1}^{k}\left(\frac{\alpha_{i} \theta_{i}+\beta_{i}}{\gamma_{i} \theta_{i}+\sigma_{i}}\right)$ .(4)

证明 1)当k=1时, 即分析单个结点Vⁱ.在单个结点情况下, 只存在一个参数θ _i, e_t-1和e_t表示证据, q_t表示目标结点某个状态, 有

$P\left(q_{t} \mid e_{t-1}, e_{t}\right)\left(\theta_{i}\right)=\frac{P\left(q_{t}, e_{t-1}, e_{t}\right)\left(\theta_{i}\right)}{P\left(e_{t-1}, e_{t}\right)\left(\theta_{i}\right)}=\frac{\alpha \theta_{i}+\beta}{\gamma \theta_{i}+\sigma}$

2)当k=2时, 即分析2个结点V¹和V².当V¹和V²属于不同的2个团时, 则V¹和V²被多个已知结点进行有向分隔, 动态灵敏性分析公式为

$P\left(q_{t} \mid e_{t-1}, e_{t}\right)\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right)=\left(\frac{\alpha_{1} \theta_{1}+\beta_{1}}{\gamma_{1} \theta_{1}+\sigma_{1}}\right)\left(\frac{\alpha_{2} \theta_{2}+\beta_{2}}{\gamma_{2} \theta_{2}+\sigma_{2}}\right)$

因此, 当选择的2个结点在不同团中时, 灵敏性函数成立.

3)对于k(k> 2)个不同的结点{V¹, V², ···, V^k}, 由于选择的结点分别属于不同的团, 则选择的k个结点相互独立, 因此多结点动态灵敏性分析等式成立, 即

4)对选择的结点要求不在同一个团的条件进行分析, 假设选择的结点同存一个团中.

(1)V¹和V²同存于一个团且有直接边相连, 灵敏性函数展开为

灵敏性函数分解式中包含

P(q_t|e_t-1, e_t)(θ₂|θ₁),

则θ₁与θ₂存在依赖关系, 对θ₁进行灵敏性分析时θ₂会同步改变, 此时再对θ₂进行灵敏性分析, 会隔断θ₁与θ₂的依赖关系, 导致V¹与V²信息不一致, 因此不满足同时进行灵敏性分析的条件^[27].

(2)V¹和V²存于同一个团且具有公共子结点, 灵敏性函数展开为

灵敏性函数分解式中同样包含

P(q_t|e_t-1, e_t)(θ₂|θ₁),

不满足条件.

由上可知, 当扰动的多个结点不在同一个团时, 定理1成立. 证毕.

对单个结点和多个结点的状态进行动态灵敏性分析, 研究结点不同状态对于系统趋势的影响情况.扰动结点的选取描述如下.对结点集合

V={V¹, V², ···, V^k},

通过式(3)计算结点影响力, 选取V中影响程度最大的结点Vⁱ, 并在集合中删除Vⁱ结点.保持选取的Vⁱ结点与已选择结点不同存于一个团中, 重复对结点集V进行操作, 直至为空.

针对顶层网络, 从t=1开始对顶层网络构建联合树JT_t, 初始化JT_t中所有团和分割团的条件概率表.令D_t为包含I_t-1={Vt-13, Vt-15}的团, C_t为包含I_t={Vt3, Vt5}的团.

根据时间片t从中提取C_t-1的概率分布, 边缘化C_t-1, 得到I_t-1的概率分布, 吸收证据得到先验分布

∑Ct-1\It-1C_t-1=P(I_t-1|E_1:t-1),

其中, E_1:t-1表示证据, 并将该先验概率分布作为D_t的概率分布, 将C_t作为根结点, 在JT_t中执行收集证据的操作.

使JT_t从JT_t+1中吸收概率, 实现对JT_t的概率分布进行更新, 边缘化D_t+1得到I_t的联合概率分布:

∑Dt+1\ItD_t+1=P(I_t|E_1:t),

吸收JT_t+1中D_t+1的概率分布, 更新JT_t中D_t的概率分布, 由式(2)可得

ϕD*= ϕD∑C\DϕC∑D\CϕD.

当整个顶层网络趋于一致后, 对于预测目标结点Q_t+1所在的团或分割团, 给定证据E, 计算Q_t+1的后验概率P(Q_t+1|E).

算法 基于分层动态贝叶斯网络的股市趋势扰动推理算法

输入 均线数据对应数据集Dataset

输出 股市未来的趋势Q_t+1

step 1 收集A股板块指数的均线数据, 将实验数据划分为训练数据和测试数据.

step 2 对每根均线构建底层网络后, 利用马尔可夫毯提取并融合为均线能量Y.

step 3 将均线能量离散化后作为输入数据构建顶层网络, 设顶层网络一共有T个时间片.

step 4 对顶层网络构建联合树JT_t, 从t=1开始, 通过证据分发和证据收集进行信息传播.

step 5 t=t+1, 若t< T, 返回step 4.

step 6 当t=T时, 通过4.1节方法对JT_t进行扰动结点的选取.

step 7 对已选择的结点进行动态灵敏性分析, 若Q_t趋势不发生改变, 判断未来趋势继续延续当前趋势, 否则, 计算 P(Q_t+1|E), 进行预测.

本文算法由构建底层网络、构建顶层网络和联合树推理三部分组成.底层网络由K2算法进行学习, K2算法的时间复杂度为O(mu²n²r), 其中, m表示实例样本个数, u表示父结点个数, n表示网络中结点个数, r表示每个结点的取值个数.顶层网络中主要时间花费是DP算法, DP算法时间复杂度约为O(h2^h+h^km), 其中, h表示顶层网络结点的数量, k表示父结点的最大个数, m表示实例样本个数.联合树推理算法的时间复杂度约为O(c^t), 其中, c表示结点的最大取值数, t表示所有团的最大结点数.因此, 算法总体时间复杂度为

O(mu²n²r+h2^h+h^km+c^t).

从沪深A股软件通达信中收集行业板块指数, 选取2015-01-01至2020-12-31出现的约18 000多个均线汇聚样本, 样本中包含行业指数的均线数据及收盘价. 2015-01-01至2018-12-31之间的约70%样本作为训练数据, 2019-01-01至2020-12-31之间的约30%样本作为测试数据.其中, 2019-01-01至2019-08-31时间段包含2 000个测试数据, 该阶段样本指数的波动性较大, 不确定程度较高.2019-01-01至2020-12-31时间段包含5 000个测试数据, 该阶段样本环境复杂, 种类丰富.每个样本在均线汇聚发生后收盘价的五日涨跌幅为所要预测的趋势:期间涨幅大于5%, 表示趋势是上行; 期间涨跌幅在-5%至5%之间, 表示趋势是横盘; 当跌幅大于5%时, 趋势是下行.

为了验证本文算法的有效性, 利用真正类率(True Positive Rate, TPR)和假正类率(False Posi-tive Rate, FPR)评价预测效果, 具体公式如下:

TPR= TPTP+FN, FPR= FPFP+TN,

其中, TP表示预测为正的正样本, TN表示预测为负的负样本, FP表示预测为正的负样本, FN表示预测为负的正样本.

动态灵敏性分析针对单个或多个均线能量变化, 分析变化后的均线能量对当前趋势的影响.由于进行灵敏性分析的结点数不同, 因此对动态灵敏性函数求解k次平均, 衡量多个结点对趋势的综合影响, 其中k表示需要扰动分析的结点个数.使用灵敏性均值函数表示为

G(θ₁, θ₂, ···, θ _k)= P(q|et-1, et)(θ1, θ2, ···, θk)k.

板块指数880344(建材2020-06-30)均线结构如图5所示, 当前指数的趋势为横盘.

图5

Fig.5

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图5 建材指数均线结构Fig.5 Structure of building materials index moving averages

设前一日的MA60状态为基本维持当前趋势, 即

P(Vt-15=0|Pa(Vt-15))=θ₁;

当日MA5状态为基本维持当前趋势, 即

P(Vt1=0|Pa(Vt1))=θ₂;

当日MA30状态为难以维持当前趋势, 即

P(Vt4=-1|Pa(Vt4))=θ₃.

根据式(4)计算结点能量影响由大至小为Vt-15、Vt4、Vt1, 其中Vt1和Vt4在同个团中.

下面对影响力最大结点、随机分析两个结点及动态选取结点这3种情况进行分析.

1)仅分析影响程度最高的结点.3个结点中影响程度最高的结点为Vt-15, 灵敏性均值函数为

G(θ₁)= 0.362θ1+0.6550.271θ1+1.315.

灵敏性均值G(θ₁)和灵敏性均值θ₁的曲线关系如图6所示.由图可知, G(θ₁)随θ₁增大而增大, G(θ₁)最小为0.5, 最大可达到0.64, 说明前一日MA60基本维持当前趋势, 在当日趋势为横盘的情况下, 未来趋势大概率是横盘.

图6

Fig.6

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图6 灵敏性均值G(θ1)随θ1的变化曲线Fig.6 Average value of sensitivity G(θ1) varying with θ1

2)分析随机2个结点.当扰动结点为Vt-15和Vt1时, 即针对两个参数θ₁和θ₂, 灵敏性均值函数为

G(θ₁, θ₂)= 0.164θ1θ2+0.143θ1+0.296θ2+0.2590.328θ1θ2+0.201θ1+1.591θ2+0.974.

灵敏性均值和两个参数的曲面关系如图7所示.当θ₁和θ₂变化时, 灵敏性均值分布在0.46与0.58之间, 说明前一日MA60状态为基本维持当前趋势, 当日MA5状态为基本维持当前趋势, 当日趋势为横盘情况下, 趋势大概率不变.

图7

Fig.7

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图7 灵敏性均值G(θ1, θ2)随θ1和θ2的变化曲面Fig.7 Surface of average value of sensitivity G(θ1, θ2) varying with θ1 and θ2

3)动态选取影响程度较高的2个结点.动态灵敏性分析转化为对Vt⁃15和Vt4进行扰动分析, 即对参数θ₁和θ₃进行灵敏性分析, 灵敏性均值函数为

G(θ₁, θ₃)= 0.103θ1θ3+0.093θ1+0.185θ3+0.1680.117θ1θ3+0.218θ1+0.567θ3+1.059.

当θ₁和θ₃变化时, 灵敏性均值的点分布在0.40与0.525之间, 表示前一日MA60状态为基本维持当前趋势, 当日MA30状态为难以维持当前趋势, 当日趋势为横盘情况下, 趋势大概率发生变化.

图8

Fig.8

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图8 灵敏性均值G(θ1, θ3)随θ1和θ3变化曲面Fig.8 Surface of average value of sensitivity G(θ1, θ3) varying with θ1 and θ3

已知当前θ₁=0.448, θ₂=0.423, θ₃=0.518, 计算出灵敏性均值G(θ₁)=0.754, G(θ₁, θ₂) =0.516, G(θ₁, θ₃)=0.472.基于单结点时和随机两个结点时的灵敏性分析, 由于信息量有限, 难以有效反映趋势变化.动态灵敏性分析通过分析一些影响度较高的结点, 更好地体现均线内在特性.

本节选用如下对比算法:T-LSTM-R(Time-Weighted LSTM Model with Trend Retracement)^[4]、HOI-CNN(High Order Information Based on CNN)^[8]、LSTM^[28].LSTM和T-LSTM-R针对均线数据, HOI-CNN直接利用均线的基础数据收盘价.

4种算法的实验结果如表1所示.在表中, 2 000表示2019-01-01至2019-08-31时间段的2 000个测试数据, 5 000表示2019-01-01至2020-12-31时间段的5 000个测试数据.

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 各算法在2种测试样本上的实验结果 Table 1 Experimental results of different algorithms on 2 kinds of test samples % 算法 趋势 2000 5000 精确率 召回率 F1值 精确率 召回率 F1值 LSTM 上行 横盘 下行 57.24 60.08 55.37 63.97 66.24 46.02 60.42 63.01 50.26 59.63 62.47 54.14 51.27 60.24 52.36 55.13 61.33 53.24 T-LSTM-R 上行 横盘 下行 62.53 66.21 54.14 54.30 75.28 45.36 58.13 70.45 49.36 67.30 72.10 55.27 63.58 61.90 68.12 65.39 66.61 61.03 HOI-CNN 上行 横盘 下行 56.43 72.10 58.18 60.63 70.07 46.37 58.45 71.07 51.61 46.67 70.02 62.25 62.21 71.12 64.32 53.33 70.57 63.27 本文算法(单节点) 上行 横盘 下行 59.46 67.67 54.44 51.04 62.76 84.36 54.92 65.12 66.18 65.77 65.21 56.67 58.62 46.44 62.21 61.99 54.24 59.31 本文算法(2个节点) 上行 横盘 下行 69.81 65.61 59.33 66.07 58.78 74.00 67.89 62.01 65.85 58.02 64.02 70.02 63.16 71.12 48.33 60.48 67.38 57.19 本文算法(3个节点) 上行 横盘 下行 70.29 79.07 67.27 70.53 71.52 69.81 70.41 75.11 68.52 66.16 79.11 69.12 65.44 85.21 62.21 65.80 82.05 65.48

表1 各算法在2种测试样本上的实验结果 Table 1 Experimental results of different algorithms on 2 kinds of test samples %

由表1可知, 对于2 000个测试样本, 进行2个结点灵敏性分析或3个结点灵敏性分析后再进行预测都具有较优结果, 而仅对单结点灵敏性分析效果不理想.这是由于单结点信息价值有限, 而多结点灵敏分析能利用更多的有用信息.其中, 基于3个结点的本文算法精确率明显高于对比算法, 在召回率和F1值上, 也有明显优势, 说明引入均线能量的动态灵敏性分析, 比仅考虑价格走势和组合特征, 在预测精度和稳定性方面都更有优势.

对于5 000个测试样本, LSTM的波动性较少, 但总体指标表现一般.T-LSTM-R总体上有所上升.HOI-CNN在预测上行和横盘趋势能力上有所下降, 在预测下行趋势能力上有所上升.本文算法具有较小的波动, 仍具有较优效果.由此可见, 当采用不同分布的测试数据时, 本文算法都具有较强的适应性.

表1说明本文算法结合灵敏性分析与联合树推理, 效果较优.为了进一步判断灵敏性对实验结果的影响, 通过对灵敏性均值阈值的动态选取, 计算TPR和FPR, 得到灵敏性分析后的ROC(Receiver Opera-ting Characteristic)曲线^[29].

AUC(Area Under Curve)定义为ROC曲线右下方的面积.基于TPR和FPR, 对上行、横盘和下行趋势进行分析, 结果如图9所示.

图9

Fig.9

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	图9 三种趋势的灵敏性分析Fig.9 Sensitivity analysis of 3 trends

图9(a)表示对上行趋势的分析结果, 3个结点的AUC值明显大于单结点和2个结点, 而单结点的AUC值最小, 说明3个结点的灵敏性分析效果最优, 单结点的灵敏性分析效果最差.(b)表示对横盘趋势的分析结果, 3个结点的灵敏性分析和2个结点的灵敏性分析结果接近.(c)表示对下行趋势的分析结果, 3个结点的灵敏性分析同样优于单结点和2个结点.在3种趋势中, 单结点灵敏性分析由于考虑的信息过少, 效果一直较差.

图9的灵敏性分析结果与表1对应, 表明灵敏性分析能有效提升预测精度, 且多个结点的灵敏性分析预测效果更优.