基于直觉模糊关系, 下面简要回顾双论域多粒度直觉模糊粗糙集^[15]与双论域直觉模糊概率粗糙集^[16].

定义非空有限论域U上的直觉模糊集

A={x, μ _A(x), v_A(x)},

其中, 元素x的隶属度

μ _A(x)∶ U→ [0, 1],

和非隶属度

v_A(x)∶ U→ [0, 1].

非空有限论域U、V上的直觉模糊关系为:

R={< (x, y), μ _R(x, y), v_R(x, y)> |(x, y)∈ U× V},

其中, 对象x、y具有关系R的隶属度

μ _R(x, y)∶ U× V→ [0, 1],

和非隶属度

v_R(x, y)∶ U× V→ [0, 1].

这里, 称(U, V, R)为双论域直觉模糊近似空间, 再加入概率测度P, 组建双论域直觉模糊概率近似空间(U, V, R, P).文献[16]的概率刻画还使用模糊截集参数λ ₁、λ ₂, 概率比较阈值α 、 β , 极限参数r, 其中, λ ₁+λ ₂∈ [0, 1], 0≤ β < α ≤ 1, r∈ (0, 1).

相关的多粒度构造主要涉及U× V上的直觉模糊关系族R_k, k=1, 2, …, m, 下面简单使用空间符号(U, V, R_k)或(U, V, R_k, P).此外, 双论域拓展还需要涉及落实于V× U的逆关系, 如R^-1、 Rk-1.

定义 1^[15] 基于(U, V, R_k), 集合T⊆U的下上近似为

$\underline{\sum\nolimits_{k=1}^{m}{{{R}_{k}}}}(T)=\left\{ \left\langle y, {{\mu }_{\underline{\sum\nolimits_{k=1}^{m}{{{R}_{k}}}}(T)}}(y), \left. {{v}_{\underline{\sum\nolimits_{k=1}^{m}{{{R}_{k}}}}(T)}}(y) \right\rangle |y\in V \right. \right\}$

$\overline{\sum\nolimits_{k=1}^{m}{{{R}_{k}}}}(T)=\left\{ \left\langle y, {{\mu }_{\overline{\sum\nolimits_{k=1}^{m}{{{R}_{k}}}}(T)}}(y), \left. {{v}_{\overline{\sum\nolimits_{k=1}^{m}{{{R}_{k}}}}(T)}}(y) \right\rangle |y\in V \right. \right\}$ (1)

其中,

对称地, 集合X⊆V的下上近似为

$\underline{\sum\nolimits_{k=1}^{m}{{{R}_{k}}}}(X)=\left\{ \left\langle x, {{\mu }_{\underline{\sum\nolimits_{k=1}^{m}{{{R}_{k}}}}(X)}}(x), \left. {{v}_{\underline{\sum\nolimits_{k=1}^{m}{{{R}_{k}}}}(X)}}(x) \right\rangle |x\in U \right. \right\}$

$\overline{\sum\nolimits_{k=1}^{m}{{{R}_{k}}}}(X)=\left\{ \left\langle x, {{\mu }_{\overline{\sum\nolimits_{k=1}^{m}{{{R}_{k}}}}(X)}}(x), \left. {{v}_{\overline{\sum\nolimits_{k=1}^{m}{{{R}_{k}}}}(X)}}(x) \right\rangle |x\in U \right. \right\}$ (2)

定义 2^[16] 基于(U, V, R, P)及参数λ ₁、λ ₂、α 、β , 集合X⊆V的下上近似为

${{\underline{PR}}_{({{\lambda }_{1}}, {{\lambda }_{2}}, \alpha )}}(X)=\left\{ x\in U|P(X|{{R}_{({{\lambda }_{1}}, {{\lambda }_{2}})}}(x))\ge \alpha , {{R}_{({{\lambda }_{1}}, {{\lambda }_{2}})}}(x)\ne \varnothing \right\}$

${{\overline{PR}}_{({{\lambda }_{1}}, {{\lambda }_{2}}, \beta )}}(X)=\left\{ x\in U|P(X|{{R}_{({{\lambda }_{1}}, {{\lambda }_{2}})}}(x))\ge \beta , {{R}_{({{\lambda }_{1}}, {{\lambda }_{2}})}}(x)\ne \varnothing \right\}\cup \left\{ x\in U|{{R}_{({{\lambda }_{1}}, {{\lambda }_{2}})}}(x)\ne \varnothing \right\}$ (3)

其中,

对称地, 采用逆关系R^-1, 集合T⊆U的下上近似类似为

其中,

本节基于直觉模糊关系, 建立双论域多粒度概率粗糙集.具体考虑双论域正向关系、逆向关系与多粒度乐观视角、悲观视角的组合, 系统构建正向乐观、正向悲观、逆向乐观、逆向悲观4种模型, 并主要以正向乐观为例展开讨论.

下面将定义2的单粒度模型推广到多粒度模型, 近似空间从(U, V, R, P)变为(U, V, R_k, P).从多粒度视角上看, 阈值参数统一采用λ ₁、λ ₂、α 、β , 式(4)和式(6)的截集与概率首先更新为:

定义 3 正向乐观模型 在(U, V, R_k, P)中, 集合X⊆V的乐观多粒度下上近似为

由于下近似不一定包含于上近似, 进而定义对应的正域、负域、上边界域、下边界域、边界域为

相应的精度与粗糙度如下:

针对直觉模糊关系与双论域、概率双要点, 定义3依托并推进定义2的单粒度模型(式(3)), 建立多粒度粗糙集的正向乐观模型, 其中, 乐观融合采用常规多粒度模式下的集合运算^[8].式(9)的正域、负域、上边界域、下边界域、边界域采用文献[5]的运算形式, 式(10)采用文献[6]的思路, 使用正域、边界域定义精度与粗糙度.该模型主要采用乐观多粒度视角与正向直觉模糊关系, 下面加入悲观视角与逆向关系, 类似建立正向悲观模型、逆向乐观模型、逆向悲观模型, 并以双近似刻画为主.特别地, 这4种模型共同组建多粒度双论域直觉模糊概率粗糙集, 具有系统关系, 也体现并行性与选择性.从特征上看, 正向与反向来源于双论域的两个不同方向: 2V→2U, 2^U→ 2^V, 而悲观与乐观关联于2种多粒度态度.

定义 4 正向悲观模型 在(U, V, R_k, P)中, 集合X⊆V的悲观下上近似为

定义 5 逆向乐观模型 在(U, V, R_k, P)中, 集合T⊆U的乐观下上近似为

定义 6 逆向悲观模型 在(U, V, R_k, P)中, 集合T⊆U的悲观下上近似为

命题 1 正向与逆向悲观上近似具有如下公式:

命题 2 关于下上近似之间的包含关系, 正向与逆向乐观模型不一定成立, 但正向与逆向悲观模型一定成立, 即:

此外, 乐观模型与悲观模型的同向近似之间存在如下包含关系:

命题 3 4种粗糙集模型具有如下退化性:

1)若m=1, 该粗糙集为文献[16]的双论域直觉模糊概率粗糙集.

2)若m=1, α =1, β =0, 且R_k为分明二元关系, 则该粗糙集为文献[4]的双论域粗糙集.

3)若m=1且R_k是从U到V的集值映射, 则该粗糙集为文献[9]的双论域概率粗糙集.

4)若m=1, λ ₁=1-λ ₂, 且R_k是从U到V的模糊关系, 则该粗糙集为双论域模糊概率粗糙集.

5)若m=1且U=V, 则该粗糙集为(单论域)直觉模糊概率粗糙集.

根据定义3~定义6, 基于直觉模糊关系的双论域多粒度概率粗糙集获得4种模型, 即多粒度双论域直觉模糊概率粗糙集蕴含着正向乐观模型、正向悲观模型、逆向乐观模型、逆向悲观模型.这4种模型具有相似性、对称性与系统性, 都能进行精度与粗糙度的特征量化.

鉴于单粒度上近似具有并形式(如式(3)、式(5)), 命题1变形基于并集成的悲观上近似, 即采用并运算交换律将式(11)和式(13)分别变形为式(14)和式(15).对比地, 乐观上近似的式(8)和式(12)涉及到并交运算, 可使用并交分配律展开, 但会变复杂.命题2考虑构建乐观模型与悲观模型下上近似的包含关系, 1)、2)涉及同一模型内部, 3)、4)涉及乐观与悲观之间, 所有结果由相关定义可证.基于命题2中1)、2), 由于乐观模型式(8)和式(12)的下近似使用并运算, 而上近似使用交运算, 如此上近似不一定严格包含下近似, 还可能上近似包含于下近似.但悲观模型式(11)和式(13)的下上近似构造相反, 导致下上近似之间具有严格包含关系.

此外基于命题2中3)、4), 正向乐观模型与正向悲观模型的下(上)近似之间具有集合包含关系, 逆向乐观模型与逆向悲观模型的下(上)近似之间也具有集合包含关系.

总之, 命题2的研究呈现4类模型关系— — 正反向之间相对独立而乐观悲观之间呈现一定强弱, 该结果一致于相关的系统建模机制.进而根据命题3的退化分析, 4种模型一同扩张对应粗糙集^{[4, 9, 16]}.其中, 粒度个数m=1是向(单粒度)双论域直觉模糊概率粗糙集^[16]退化的基本条件, 此时正向乐观模型等价于正向悲观模型, 而逆向乐观模型等价于逆向悲观模型.

对比文献[15]和文献[16]的模型发现, 三者都基于直觉模糊背景进行粗糙集建模, 但本文完全涉及概率、多粒度、双论域三要素的综合集成, 相关模型更适用于复杂环境的不确定性分析.文献[15]模型主要采用隶属函数与非隶属函数的逻辑最值运算, 相关结果更偏重于模糊集形式, 不仅复杂、费解, 也不好确定后续的不确定性度量(如精度、粗糙度).文献[16]将模糊信息进行截取粒化, 利用概率及阈值完成单粒度粗糙集的确定.通过拓展与深化, 本文采用集合交并运算进行多粒度集成, 相关结果是粗糙集常用的集合形式, 更具简单性与解释性, 也可自然定义后续的精度与粗糙度等不确定性度量.由此可见, 本文模型具有多粒度建模改进优势.在理论上, 本文模型更具有系统综合性、刻画深入性、优良扩张性; 在应用上, 相关结果具有广泛适应性与更强应用性, 有利于不确定性测量与多属性决策制定等应用.

综上所述, 本文4种模型具有理论扩张优势, 同时具有多粒度环境的实际应用性, 都适用于共同的直觉模糊、双论域、多粒度环境, 但具有不同的侧重点, 可根据实际情况进行选择.后面主要讨论正向乐观模型, 其余3种模型可得到类似结果.在这里, 算法1首先提供4种模型的集成计算, 主要通过单粒度近似^[16]集成获取多粒度近似, 具有系统结构性与集成推进性的相关优势.算法引入4个单粒度近似, 即

PRk¯(λ1, λ2, α)(X), PRk¯(λ1, λ2, β)(X),

PRk-1¯(λ1, λ2, α)(T), PRk-1¯(λ1, λ2, β)(T),

用于多粒度信息集成.

算法 1 计算正向乐观模型、正向悲观模型、逆向乐

观模型、逆向悲观模型

输入 近似空间(U, V, R_k, P), k=1, 2, …, m,

集合X⊆V、, T⊆U, 参数λ ₁、λ ₂、α 、 β

输出 正向乐观近似、逆向乐观近似、

正向悲观近似、逆向悲观近似

1. for R_k∈ {R₁, R₂, …, R_m}do

2. for x∈ U do

3. 由式(7)计算(R_k )(λ1, λ2)(x), P(X|(R_k )(λ1, λ2)(x))

4. 由式(3)对应条件判别x

5. end for

6. 得到类似式(3)的单粒度近似 PRk¯(λ1, λ2, α)(X), PRk¯(λ1, λ2, β)(X)

7. for y∈ V do

8. 由式(7)计算(R_k )(λ1, λ2)-1(y), P(T|(R_k )(λ1, λ2)-1(y))

9. 由式(5)对应条件判别y

10. end for

11. 得到类似式(5)的单粒度近似 PRk-1¯(λ1, λ2, α)(T), PRk-1¯(λ1, λ2, β)(T).

12. end for

13. 由式(8)、式(11)~式(13), 采用集成运算得到4种多粒度双近似:

∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, α)O(X)= ⋃k=1mPRk¯(λ1, λ2, α)(X),

∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, β)O(X)= ⋂k=1mPRk¯(λ1, λ2, β)(X);

∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, α)P(X)= ⋂k=1mPRk¯(λ1, λ2, α)(X),

∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, β)P(X)= ⋃k=1mPRk¯(λ1, λ2, β)(X);

∑k=1mPRk-1¯(λ1, λ2, α)O(T)= ⋃k=1mPRk-1¯(λ1, λ2, α)(T),

∑k=1mPRk-1¯(λ1, λ2, β)O(T)= ⋂k=1mPRk-1¯(λ1, λ2, β)(T);

∑k=1mPRk-1¯(λ1, λ2, α)P(T)= ⋂k=1mPRk-1¯(λ1, λ2, α)(T),

∑k=1mPRk-1¯(λ1, λ2, β)P(T)= ⋃k=1mPRk-1¯(λ1, λ2, β)(T).

14. 返回13中4对公式结果.

在算法1中, 步骤1~12涉及外层多粒度循环, 包含2个并行内层循环:求正向单近似的论域U循环(步骤2~5)及求反向单近似的论域V循环(步骤7~10).步骤13采用式(16)集成计算4种多粒度双近似, 也可具体分入循环之中.选取求近似所需的模糊截取与概率测量作为基本运算, 可得时间复杂度为O(2m(|U|+|V|)).由此可见, 算法1具有有效性, 可系统得到4类模型的双近似, 具体结果还依赖于参数选择, 从而相关的优化确定成为一个问题.此外, 算法1还可修正到计算后续数量特征或只关注一个模型.

最后说明相关参数的设定.本文模型主要涉及4个参数λ ₁、λ ₂、α 、 β , 分为2类, 一般性设置讨论如下.

1)λ ₁、λ ₂为截集参数, 具有基本范围, λ ₁∈ [0, 1], λ ₂∈ [0, 1], λ ₁+λ ₂∈ [0, 1], 主要将直觉模糊关系的(非)隶属函数进行截取剖分, 建立基础的模糊粒化.因此, λ ₁、λ ₂可由(非)隶属函数特性确定, 也可由决策者的粒化需求设定.

2)α 、 β 为概率阈值参数, 通常约束范围是0≤ β ≤ 0.5≤ α ≤ 1, 主要将条件概率进行三支剖分, 支持粗糙近似集的提取.α 、 β 可由概率函数特性确定, 也可由专家经验与实验结果设定.作为补充, 这里提供2种合理的设定方案:(1)可模拟决策粗糙集建模方法, 引入决策风险代价与贝叶斯最优决策进行参数计算与确定; (2)可考虑条件概率排序与精度度量最大值, 通过算法极小化参数所属区间, 最后选取居中参数或偏好阈值.

文中上述建模(及算法)与下述性质都具有普适性, 不依赖于参数值或参数无需预先设定.但在后续实例中, 选取非极端的适中值进行说明, 这种设定可完成基本的有效性验证.在深入研究与实际应用中, 合理的参数设置更依赖于需求与经验、实验与优化等, 并可涉及参数灵敏性分析.

针对多粒度双论域直觉模糊概率粗糙集的4类模型, 本节研究下上近似的基本性质, 包括集合运算关系、概率参数极限、精度大小对比3方面.主要考虑正向乐观模型, 其余3个模型具有类似结果.从而, 基于性质的四类模型关系就成为一个平凡工作或额外问题.这些性质将文献[16]的相关单粒度性质进行多粒度扩展, 具有机制性与扩张性.基于多粒度的并交集成机制(如式(16))在多粒度环境下的性质自然具有集成性、传递性、正确性.因此, 性质证明中通常只选取一个代表作为示例.

性质 1 正向乐观模型的下上近似性质如下:

1) ∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, α)O(Ø )=Ø , ∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, β)O(V)=U;

2)若X⊆Y, 则

5)若0< α ₁≤ α ₂≤ 1, 0≤ β ₁≤ β ₂< 1, 则

6) ∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, α)O(X)=~ ∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, 1-α)O(~X),

∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, β)O(X)=~ ∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, 1-β)O(~X),

α > 0.5, β < 0.5.

证明 性质1可由基本定义3(即式(8))证明.作为示范, 下面证明2)~4).

∀ x∈ ∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, α)O(X),

由定义3, 存在k, 使得

若X⊆Y, 则对于上述k, 有

所以

即2)成立.

X∩ Y⊆X, Y⊆X∪ Y,

则由2)可直接推出3)与4)成立. 证毕

性质1聚焦近似算子的运算性质, 得到正向乐观模型近似的并交补运算关系.相关结果在系统上类似于文献[16]的对应性质, 但有多粒度提升性.

性质 2 正向乐观模型近似算子极限刻画为

进而, 若R_k是一个串行的直觉模糊关系, 即

∀ x∈ U, ∨y∈VμRk(x, y)=1, ∧y∈VvRk(x, y)=0,

则上述⊆、⊇关系能够被强化为= .

证明 下面仅证一种情况.根据性质1中5), 有

根据定义3, 若α > r, 则

这就意味着

进而, R_k串行的性质导致 (Rk)(λ1, λ2)(x)≠ Ø , 因此式(6)的下近似简化为

从而

的证明类似于文献[16]中定理3的相应证明. 证毕

性质 3 若R_k是一个串行的直觉模糊关系, 则

性质2与性质3聚焦正向乐观模型近似的概率参数极限, 性质2主要讨论下近似右极限与上近似左极限, 而性质3提供对称的下近似左极限与上近似右极限.基于串行直觉模糊关系, 相关极限体现对于概率参数的双近似连续性, 一致于并深化文献[16]的对应结果.

性质 4 设Ø ≠ X⊆Y⊆V, 如下3条成立:

1)若

∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, α)O(X)= ∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, α)O(Y),

则

ρ(α, β, λ1, λ2)O(X)≥ ρ(α, β, λ1, λ2)O(Y),

μ(α, β, λ1, λ2)OX)≤μ(α, β, λ1, λ2)OY);

2)若

∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, β)O(X)= ∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, β)O(Y),

则

ρ(α, β, λ1, λ2)O(X)≤ ρ(α, β, λ1, λ2)O(Y),

μ(α, β, λ1, λ2)OX)≥ μ(α, β, λ1, λ2)OY);

3)若

∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, α)O(X)= ∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, α)O(Y),

∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, β)O(X)= ∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, β)O(Y),

则

ρ(α, β, λ1, λ2)O(X)= ρ(α, β, λ1, λ2)O(Y),

μ(α, β, λ1, λ2)OX)= μ(α, β, λ1, λ2)OY).

进而, 对于

X≠ Ø , Y⊆V,

有如下2条成立:

证明 由定义3的精度、粗糙度(式(10))和性质1中2)可证明1)~3). 4)、5)的证明与文献[16]定理6的证明类似. 证毕

性质4呈现正向乐观模型近似的度量大小关系, 主要是基于子集关系与并交运算的精度(粗糙度)大小刻画, 其中精度与粗糙度具有对称性.相关结果关联并深化文献[16]的对应结果.

本节采用一个医疗实例, 说明本文模型的计算算法、决策制定、数学性质.

4.1 模型建立

论域U={x₁, x₂, …, x₅}为病人集, 论域V={y₁, y₂, …, y₅}收集发烧、头痛、胃痛、咳嗽、肌痛5种症状.

假设4位专家对患者及症状进行相应的关联诊断, 相关结果使用U× V上的模糊关系R_k(x_i, y_j), i=1, 2, …, 5, j=1, 2, …, 5, k=1, 2, 3, 4表示.具体如表1所示.

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 病人与症状之间的直觉模糊关系 Table 1 Intuitionistic fuzzy relations between patients and symptoms Rk U V Rk U V y1 y2 y3 y4 y5 y1 y2 y3 y4 y5 R1 x1 (0.4, 0) (0.7, 0) (0.3, 0.3) (0.1, 0.7) (0.1, 0.8) R3 x1 (0.9, 0.1) (0.7, 0.2) (0.1, 0.5) (0.4, 0.3) (0.2, 0.7) x2 (0.3, 0.5) (0.6, 0.1) (0.2, 0.6) (0.2, 0.4) (0, 0.8) x2 (0.4, 0.2) (0.5, 0.5) (0.5, 0.3) (0.4, 0.4) (0.6, 0.31) x3 (0.7, 0.2) (0.9, 0) (0.4, 0.4) (0.8, 0) (0.6, 0.4) x3 (0.6, 0.1) (0.8, 0.1) (0.63, 0.3) (0.5, 0.2) (0.2, 0.6) x4 (0.4, 0.3) (0.7, 0) (0.5, 0.1) (0.3, 0.7) (0.2, 0.8) x4 (0.3, 0.5) (0.7, 0.2) (0.2, 0.4) (0.2, 0.5) (0.2, 0.5) x5 (0.1, 0.7) (0.1, 0.8) (0.8, 0.1) (0.9, 0.1) (0.1, 0.9) x5 (0.1, 0.7) (0.8, 0.2) (0.2, 0.8) (0.4, 0.5) (0.3, 0.2) R2 x1 (0.3, 0.1) (0.6, 0.1) (0.3, 0.3) (0.2, 0.8) (0.1, 0.7) R4 x1 (0.3, 0.1) (0.6, 0.3) (0.3, 0.2) (0.3, 0.7) (0.41, 0.1) x2 (0.5, 0.2) (0.1, 0.7) (0.4, 0.32) (0.1, 0.5) (0, 0.6) x2 (0.4, 0.5) (0.3, 0.4) (0.9, 0.1) (0.3, 0.5) (0.5, 0.4) x3 (0.8, 0.1) (0.1, 0.8) (0.2, 0.6) (0.2, 0.5) (0.8, 0.1) x3 (0.1, 0.9) (0.2, 0.7) (0.2, 0.8) (0.7, 0.2) (0.1, 0.7) x4 (0.3, 0.4) (0.6, 0.2) (0.41, 0.4) (0.3, 0.6) (0.2, 0.7) x4 (0.3, 0.6) (0.8, 0) (0.2, 0.5) (0.3, 0.7) (0.1, 0.4) x5 (0.7, 0.1) (0.5, 0.2) (0.5, 0.11) (0.6, 0.3) (0.8, 0.1) x5 (0.1, 0.5) (0.4, 0.5) (0.3, 0.5) (0.1, 0.7) (0.42, 0.4)

表1 病人与症状之间的直觉模糊关系 Table 1 Intuitionistic fuzzy relations between patients and symptoms

假设决策者根据实际情况, 设置截集粒化参数λ ₁=0.3, λ ₂=0.5.基于概率分布与精度优化, 初步确定概率阈值参数所属范围α ∈ (0.5, 1], β ∈ [0.25, 0.33), 由此选定α =0.77, β =0.32进行基本计算与有效验证.考虑症状子集

X={y₃, y₄}⊆V,

其在(U, V, R_k, P)空间中的关系截集 (Rk)(λ1, λ2)(x)与条件概率P(X| (Rk)(λ1, λ2)(x))如表2所示.

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 关系截集与条件概率 Table 2 Relational cut-set and conditional probability Rk x1 x2 x3 x4 x5 关系截集 条件概率 关系截集 条件概率 关系截集 条件概率 关系截集 条件概率 关系截集 条件概率 R1 {y1, y2, y3} 0.33 {y1, y2} 0 {y1, y2, y3, y4, y5} 0.40 {y1, y2, y3} 0.33 {y3, y4} 1 R2 {y1, y2, y3} 0.33 {y1, y3} 0.50 {y1, y5} 0 {y1, y2, y3} 0.33 {y1, y2, y3, y4, y5} 0.40 R3 {y1, y2, y4} 0.33 {y1, y2, y3, y4, y5} 0.40 {y1, y2, y3, y4} 0.50 {y1, y2} 0 {y2, y4, y5} 0.33 R4 {y1, y2, y3, y5} 0.25 {y1, y2, y3, y4, y5} 0.40 {y4} 1 {y2} 0 {y2, y3, y5} 0.33

表2 关系截集与条件概率 Table 2 Relational cut-set and conditional probability

下面先考虑正向乐观模型.基于定义3(或修正算法1)可得如下的下上近似、三支区域、测评度量的计算结果:

∑k=1mPRk¯(λ1, λ2, α)O(X)= ⋃k=14{x∈ U|P(X|(R_k )(λ1, λ2)(x))≥ 0.77, (Rk)(λ1, λ2)(x)≠ Ø }={x₅}∪ {x₃}={x_3, x₅},

根据上述三支区域结果, 可得正向乐观模型的决策制定策略, 主要实施如下三支决策方案:

1)正域患者x₅被判断感染关联X的疾病, 需要相关治疗;

2)负域患者x₁、x₂、x₄未感染X相关疾病, 不需要治疗;

3)边界域患者x₃可能感染也可能没有感染X相关疾病, 需要进一步观测与评估.

其余3种模型可类似计算.

表3给出正向和逆向情况下的单粒度模型^[16]与多粒度模型的相关结果, 正向模型考虑

X={y₃, y₄}⊆V,

表3

Table 3

表3(Table 3)

表3 单粒度模型与多粒度模型的实例结果 Table 3 The results of instances of single-granularity and multi-granularity models 方向(集合) 模型 下近似 上近似 正域 负域 边界域 精度 粗糙度 正向(X) 单粒度R1 {x5} {x1, x3, x4, x5} {x5} {x2} {x1, x3, x4} 0.25 0.75 单粒度R2 Ø {x1, x2, x4, x5} Ø {x3} {x1, x2, x4, x5} 0 1 单粒度R3 Ø {x1, x2, x3, x5} Ø {x4} {x1, x2, x3, x5} 0 1 单粒度R4 {x3} {x2, x3, x5} {x3} {x1, x4} {x2, x5} 0.33 0.67 正向乐观 {x3, x5} {x5} {x5} {x1, x2, x4} {x3} 0.50 0.50 正向悲观 Ø U Ø Ø U 0 1 逆向(T) 单粒度 R1-1 Ø {y4} Ø {y1, y2, y3, y5} {y4} 0 1 单粒度 R2-1 {y4} U {y4} Ø {y1, y2, y3, y5} 0.20 0.80 单粒度 R3-1 {y5} {y2, y3, y4, y5} {y5} {y1} {y2, y3, y4} 0.25 0.75 单粒度 R4-1 Ø U Ø Ø U 0 1 逆向乐观 {y4, y5} {y4} {y4} {y1, y2, y3} {y5} 0.50 0.50 逆向悲观 Ø U Ø Ø U 0 1

表3 单粒度模型与多粒度模型的实例结果 Table 3 The results of instances of single-granularity and multi-granularity models

而逆向模型考虑T={x₂, x₅}⊆U, 并且涉及4个粒度R₁、R₂、R₃、R₄.

基于表3的实例结果, 可揭示新建四类模型的关系, 如容易验证命题2的研究结果.类似上述正向乐观模型, 其余3种模型的语义或决策也可进行相应解释.由此可见, 4种模型已将文献[16]的单粒度模型拓展到多粒度环境及其综合应用, 相关的三支决策仍然具有可调机制以控制误诊风险.此外, 临床诊断更期待高精度, 这意味着更多的确诊患者与更少的不确诊患者.

由表3可见, 在相同阈值情况下, 正向乐观模型的精度高于4个正向单粒度模型的精度, 而逆向乐观模型的精度不低于4个逆向单粒度模型的精度, 这也说明本文模型对文献[16]单粒度模型决策效果的改进性.

对比文献[15]发现, 本文模型引入概率度量以获取多粒度建模改进.在本例中, 定义1模型^[15]呈现如下近似结果:

由此对比可见, 文献[15]模型的模糊集表达更复杂与费解, 而本文模型的粗糙集表达更直接多样并具可解释性, 并更利于后续的度量构造与决策制定.

在医疗实例中, 专家针对医治病人与疾病症状的关联, 提供直觉模糊关系.一般地, 根据医学机理, 这种模糊关系的隶属值与非隶属值更倾向于在特定范围内合理摆动, 即专家们意见可能不同, 但容易具有较一致的定性机制或总体方向, 具体的把握程度可能会有所不同.

本例专家数据(如表1)具有较好的一致性, 从而多粒度集成融合呈现合理的系统结果, 能说明相关模型及性质的有效性.此外, 在实际情况中, 专家们也可能出现较大分歧(包括在定性方面或定量方面), 特别是针对一些特殊病人或疑难病症.此时, 可考虑一致性判断或特异性删除, 避免专家意见冲突, 更好地进行统计分析与医疗决策.

本文基于直觉模糊关系, 并综合考虑概率、双论域、多粒度的泛化因素, 构建正向乐观、正向悲观、逆向乐观、逆向悲观4种多粒度双论域直觉模糊概率粗糙集模型, 得到相关的计算算法、数学性质、决策分析.文中主要以正向乐观模型为主.针对模糊、粗糙、随机等不确定性复杂情况, 利用概率度量方法改善文献[15]的模型复杂性与测量困难性, 将文献[16]的单粒度模型推进到多粒度集成处理, 在理论上扩张文献[4]、文献[9]、文献[16]相应模型与性质.本文模型具有有效融合性、优良扩张性、广泛适应性, 适用于复杂环境, 增强模型强健性, 有利于不确定性分析与多属性决策制定.

鉴于本文模型的有效不确定性刻画能力, 后续的数据分析与知识发现还值得深入研究.特别地, 基于文献[11]的论述, 本文模型有利于多粒度数据分析, 在相关的属性约简、规则提取、决策制定等方面都具有研究空间与应用前景.