本文仅在理想状态下考虑非空有限的问题域和非空有限的技能域. 这里的理想状态是指个体在回答问题时没有粗心答错或侥幸答对的情况.

知识结构是KST的重要概念之一.个体知识状态的集合是一个知识结构(Q, K).若知识结构K保持并封闭, 即对K中的任意两个元素K_i和K_j, 有K_i∪ K_j∈ K, 则称K是一个知识空间.若知识结构K保持交封闭, 即对K中的任意两个元素K_i, K_j, 有K_i∩ K_j∈ K, 则称K是一个简单闭包空间.若知识结构K同时保持交、并封闭, 则称K是一个拟序空间.

设(Q, K)是一个知识结构, 对q∈ Q, K_q是知识结构K中包含问题q的所有知识状态的集合.对q∈ Q,

$[q]=\{p\in Q|{{\mathcal{K}}_{q}}={{\mathcal{K}}_{p}}\}$

表示与q同时出现在某些知识状态中的问题集合.若对∀ q∈ Q, [q]为单点集, 则称(Q, K)是一个可辨识的知识结构.若一个拟序空间(Q, K)是可辨识的, 则称(Q, K)是一个序空间.

定义1^[2] 三元组(Q, S, τ )称为一个技能映射, 其中, Q为非空有限问题集, S为非空有限技能集, τ 为由Q到2^S\{Ø }的映射.

在问题集和技能集给定的情况下, 直接称τ 为一个技能映射.

设(Q, S, τ )为一个技能映射, 对T⊆S, 定义

$K=\{q\in Q|\tau (q)\bigcap T\ne \varnothing \}$

称K是由T通过析取模型诱导的知识状态.当T取遍S的所有子集时, 所得知识状态的集合K称为由技能映射τ 通过析取模型诱导的知识空间.对T⊆S, 定义

$K=\{q\in Q|\tau (q)\subseteq T\}$

称K是由T通过合取模型诱导的知识状态.当T取遍S的所有子集时, 所得知识状态的集合K称为由技能映射τ 通过合取模型诱导的简单闭包空间.

定义2^[8] 三元组(Q, S, μ )称为一个技能多映射, 其中, Q为非空有限问题集, S为非空有限技能集, μ 为由Q到${{2}^{{{2}^{S}}\backslash \{\varnothing \}}}\backslash \{\varnothing \}$的映射.

在技能多映射(Q, S, μ )中, 对∀ q∈ Q, 若满足

1)μ (q)≠ Ø ,

2)对∀ M∈ μ (q), M≠ Ø ,

3)μ (q)中的能力关于集合的包含关系两两不可比较, 则称(Q, S, μ )为一个技能函数.

在问题集和技能集给定的情况下, 直接称μ 为一个技能函数.此时, 对∀ q∈ Q, 称C∈ μ (q)为解决问题q的一个极小能力.

对T⊆S, 定义

$K=\{q\in Q|\exists C\in \mu (q):C\subseteq T\}$

称K是由T通过技能函数μ 诱导的知识状态.当取遍S的所有子集时, 所得知识状态的集合K称为由μ 诱导的知识结构.

技能函数有两种特殊的类型, 即析取技能函数和合取技能函数.

设(Q, S, μ )为一个技能函数, 若对∀ q∈ Q, 有μ (q)={M}, 其中Ø ⊂M⊆S, 则称(Q, S, μ )为一个合取技能函数.若对∀ q∈ Q, 有

μ (q)={{s}∶ s∈ M},

其中Ø ⊂M⊆S, 则称(Q, S, μ )为一个析取技能函数.合取技能函数为每个问题分配一个非空的技能子集, 诱导的知识结构保持交封闭, 是一个简单闭包空间.析取技能函数为每个问题分配单点的技能子集, 诱导的知识结构保持并封闭, 是一个知识空间.

定义3^[2] 设F是一个有限的集族, 若对

∀ K∈ F, L∈ F,

存在有限序列

K=K₀, K₁, …, K_n=L,

使得

$d({{K}_{i}}, {{K}_{i+1}})=|{{K}_{i}}\vartriangle {{K}_{i+1}}|=|({{K}_{i}}\backslash {{K}_{i+1}})\bigcup ({{K}_{i+1}}\backslash {{K}_{i}})|=1$

其中, i∈ [0, n-1], d(K, L)=n, 则称F是良级的.

满足定义3的有限序列

K=K₀, K₁, …, K_n=L

称为由K到L的紧路径.

定义4 设(Q, S, τ )为一个技能映射.对q∈ Q, T⊆S, 称

D(T/τ (q))= |τ(q)⋂T||τ(q)|

为关于q和T的技能包含度.为了方便起见, 将D(T/τ (q))记为 τqT.称

$D(\tau )=\{\tau _{q}^{T}|q\in Q, T\subseteq S\}$

为τ 的技能包含度集.对q∈ Q, 将

$D({{\tau }_{q}})=\{\tau _{q}^{T}|T\subseteq S\}$

称为关于问题q的技能包含度集.

推论1 设(Q, S, τ )为一个技能映射.对q∈ Q,

$D({{\tau }_{q}})=\{\tau _{q}^{T}|T\subseteq S\}$

为关于问题q的技能包含度集, 则有

$D(\tau )=\bigcup\limits_{q\in Q}{D({{\tau }_{q}})}$.

由技能包含度的定义可知, 对于两个不相交的技能子集T_i⊆S, T_j⊆S和T⊆S, 不难验证它们的技能包含度满足可加性和互补性, 即

$\tau _{q}^{{{T}_{i}}}+\tau _{q}^{{{T}_{j}}}=\tau _{q}^{{{T}_{i}}\bigcup {{T}_{j}}}, \tau _{q}^{T}+\tau _{q}^{S\backslash T}=1$

如果T={s_i, s_j}, 可将技能包含度简单记为 τqsisj.

定义5 设(Q, S, τ )为一个技能映射, 对q∈ Q, T⊆S, τqT为一个技能包含度.对α ∈ (0, 1], 由T通过变精度α -模型诱导的知识状态为

$K_{T}^{\alpha }=\{q\in Q|\tau _{q}^{T}\ge \alpha \}$.

对α ∈ (0, 1], 根据定义5, 显然有

$K_{\varnothing }^{\alpha }=\varnothing $, $K_{S}^{\alpha }=Q$.

遍历S的子集T, 通过变精度α -模型诱导的所有知识状态的集合构成知识结构

${{\mathcal{K}}^{\alpha }}=\{K_{T}^{\alpha }|T\subseteq S\}$.

为了方便起见, 不妨将技能包含度集记为

D(τ )={β ₁, β ₂, …, β _n},

其中

0=β ₁< β ₂< …< β _n =1.

假设

α ∈ (β _i, β _i+1], i=1, 2, …, n-1,

在β _i和β _i+1之间没有别的技能包含度, 所以技能映射在这样一个区间诱导的知识结构就是在区间右端点诱导的知识结构, 即K^α = Kβi+1.

若一个技能映射(Q, S, τ )确定的技能包含度集为D(τ )={β ₁, β ₂, …, β _n}, 除了β ₁以外, 对于β ₂, β ₃, …, β _n, 技能映射(Q, S, τ )通过变精度α -模型可诱导n-1个知识结构.容易验证, 对α ∈ (β ₁, β ₂], 变精度α -模型为析取模型, 技能映射(Q, S, τ )通过变精度α -模型诱导的知识结构是一个知识空间.对α ∈ (β _n-1, β _n], 变精度α -模型为合取模型, 技能映射(Q, S, τ )通过变精度α -模型诱导的知识结构是一个简单闭包空间.

下面考虑更一般的情形, 即结合技能函数与包含度, 讨论构建知识结构的另一种方法.

定义6 设(Q, S, μ )为一个技能函数.对q∈ Q, C∈ μ (q), T⊆S, 称

D(T/C)= |C⋂T||C|

为问题q关于C和T的能力包含度.为了方便起见, 将D(T/C)记为 μCqT.

D(μ )={ μCqT|∀ q∈ Q, C∈ μ (q), T⊆S}

称为μ 的能力包含度集.对q∈ Q,

D(μ _q)={ μCqT|C∈ μ (q), T⊆S}

称为关于问题q的能力包含度集.

推论2 设(Q, S, μ )为一个技能函数.对q∈ Q,

D(μ _q)={ μCqT|C∈ μ (q), T⊆S}

为关于问题q的能力包含度集, 则有

$D(\mu )= \bigcup\limits_{q\in Q}{D({{\mu }_{q}})}$.

同样地, 由能力包含度的定义可知, 对于两个不相交的技能子集T_i⊆S, T_j⊆S和T⊆S, 它们的能力包含度满足可加性和互补性.于是可得如下命题 1.

命题1 设(Q, S, μ )为一个技能函数.对∀ q∈ Q, C∈ μ (q), T₁⊆S, T₂⊆S, T₁∩ T₂=Ø , 则有

μCqT1⋃T2= μCqT1+ μCqT2.

证明 由定义6, 对q∈ Q, C∈ μ (q), T₁⊆S, T₂⊆S, T₁∩ T₂=Ø , 有

$\mu _{{{C}_{q}}}^{{{T}_{1}}\bigcup {{T}_{2}}}=\frac{|{{C}_{q}}\bigcap ({{T}_{1}}\bigcup {{T}_{2}})|}{|{{C}_{q}}|} \text{=}\frac{|{{C}_{q}}\bigcap {{T}_{1}}|+|{{C}_{q}}\bigcap {{T}_{2}}|}{|{{C}_{q}}|} =\frac{|({{C}_{q}}\bigcap {{T}_{1}})\bigcup ({{C}_{q}}\bigcap {{T}_{2}})|}{|{{C}_{q}}|} =\mu _{{{C}_{q}}}^{{{T}_{1}}}+\mu _{{{C}_{q}}}^{{{T}_{2}}}$

命题2 设(Q, S, μ )为一个技能函数, 则有如下性质:

1)对q∈ Q, C∈ μ (q), T⊆S, 有$\mu _{{{C}_{q}}}^{T}=\sum\limits_{s\in T}{\mu _{{{C}_{q}}}^{s}}$;

2)对q∈ Q, C∈ μ (q), T⊆S, 有 μCqT+ μCqS\T=1.

证明 由定义6和命题1即证.

由于D(μ )为一个有限集, 为了方便起见, 不妨将能力包含度集表示为D(μ )={β ₁, β ₂, …, β _n}, 其中

0=β ₁< β ₂< …< β _n=1, β _i+β _n-i+1=1.

令 μCT= β _i, 由 μCT+ μCS\T=1, 得 μCS\T=β _n-i+1.如果n为奇数, 一定有

βn+12+ βn+12=1,

即

βn+12= 12.

命题3 设(Q, S, μ )为一个技能函数, 其中Q={q₁, q₂, …, q_m}.设D(μ )={β ₁, β ₂, …, β _n}为能力包含度集, 则下述成立:

1)对q_i∈ Q, i=1, 2, …, m, $|D({{\mu }_{{{q}_{i}}}})|$为偶数当且仅当 12∉D( μqi);

2)对q_i∈ Q, i=1, 2, …, m, $|D({{\mu }_{{{q}_{i}}}})|$为奇数当且仅当 12∈ D( μqi);

3)对∀ q_i∈ Q, i=1, 2, …, m, 若$|D({{\mu }_{{{q}_{i}}}})|$为偶数, 则

$|D(\mu )|=|\bigcup\limits_{i=1}^{m}{D({{\mu }_{{{q}_{i}}}})}|$

为偶数;

4)若存在q_i∈ Q, i=1, 2, …, m, 使得$|D({{\mu }_{{{q}_{i}}}})|$为奇数, 则

$|D(\mu )|=|\bigcup\limits_{i=1}^{m}{D({{\mu }_{{{q}_{i}}}})}|$

为奇数.

证明 先证1).对q_i∈ Q, 设

D( μqi)={ε ₁, ε ₂, …, ε _n}.

若$|D({{\mu }_{{{q}_{i}}}})|$为偶数, 由

ε _j+ε _n-j+1=1, j=1, 2, …, n,

当j= n2时, 有

εn2+ εn2=1.

于是 12∈ D( μqi).反之, 设 12∉D( μqi).不妨设n为奇数, 则有

εn+12+ εn+12=1,

即

εn+12= 12.

这与假设矛盾, 因此$|D({{\mu }_{{{q}_{i}}}})|$为偶数.

再证2).类似于1), 容易证明2)是成立的.

再证3).对∀ q_i∈ Q, 若$|D({{\mu }_{{{q}_{i}}}})|$为偶数, 由1)可得 12∉D( μqi).由于

$D(\mu )=\bigcup\limits_{i=1}^{m}{D({{\mu }_{{{q}_{i}}}})}$

于是有

$\tfrac{1}{2}\notin \bigcup\limits_{i=1}^{m}{D({{\mu }_{{{q}_{i}}}})}$,

即 12∉D(μ ).故$|D(\mu )|$为偶数.

最后证明4).若存在q_i∈ Q, 使得$|D({{\mu }_{{{q}_{i}}}})|$为奇数, 从而有 12∈ D( μqi), 于是

$\tfrac{1}{2}\in \bigcup\limits_{i=1}^{m}{D({{\mu }_{{{q}_{i}}}})}=D(\mu )$,

故D(μ )为奇数.

定义7 设(Q, S, μ )为一个技能函数.对q∈ Q, C∈ μ (q), T⊆S, μCqT为问题q关于C和T的能力包含度.对α ∈ (0, 1], 由T通过变精度α -能力模型诱导的知识状态为

$K_{T}^{\alpha }=\{q\in Q|\exists C\in \mu (q):\mu _{{{C}_{q}}}^{T}\ge \alpha \}$.

注意到, 因为

$\mu _{{{C}_{q}}}^{\varnothing }=\frac{|{{C}_{q}}\bigcap \varnothing |}{|{{C}_{q}}|}=0\ngeqslant \alpha $,

所以T=Ø 诱导的知识状态为 KØα=Ø .由于对∀ q∈ Q, C∈ μ (q), 总有C⊆S, 使得

μCqS= |Cq⋂S|Cq=1≥ α ,

故T=S诱导的知识状态为 KSα=Q.于是由技能函数μ 通过变精度α -能力模型诱导的是知识结构.

定义8 设(Q, S, μ )为一个技能函数.对α ∈ (0, 1], 称

${{\mathcal{K}}^{\alpha }}=\{K_{T}^{\alpha }|T\subseteq S\}$

为由μ 通过变精度α -能力模型诱导的知识结构.

定理1 设(Q, S, μ )为一个技能函数.

D(μ )= {β ₁, β ₂, …, β _n}

为μ 的能力包含度集.对α ∈ (β _i, β _i+1], i=1, 2, …, n-1, 有K^α = Kβi+1.

证明 对α ∈ (β _i, β _i+1], 设K^α 为由技能函数μ 通过变精度α -能力模型诱导的知识结构.对∀ T⊆S, 有

$K_{T}^{\alpha }=\{q\in Q|\exists C\in \mu (q):\mu _{{{C}_{q}}}^{T}\ge \alpha \}=\{q\in Q|\exists C\in \mu (q):\mu _{{{C}_{q}}}^{T}> {{\beta }_{i}}\}$.

由于β _i与β _i+1之间不存在其它的能力包含度, 因此

$K_{T}^{\alpha }=\{q\in Q|\exists C\in \mu (q): \mu _{{{C}_{q}}}^{T}\ge {{\beta }_{i+1}}\}=K_{T}^{{{\beta }_{i+1}}}$,

故${{\mathcal{K}}^{\alpha }}={{\mathcal{K}}^{{{\beta }_{i+1}}}}$.

定理2 设(Q, S, μ )为一个技能函数,

D(μ )= {β ₁, β ₂, …, β _n}

为μ 的能力包含度集.对α ∈ (β _n-1, β _n], 由μ 通过变精度α -能力模型诱导的知识结构是由μ 通过能力模型诱导的知识结构.

证明 因为有K^α = Kβn, 设(Q, Kβn)为由μ 通过变精度α -能力模型诱导的知识结构.假设对∀ T⊆S, KTβn为 Kβn中的状态, 则有

$K_{T}^{{{\beta }_{n}}}=\{q\in Q| \exists C\in \mu (q):\mu _{C}^{T}\ge {{\beta }_{n}}=1\}$.

因为

μCT= |C⋂T||C|≥ 1,

所以有C⊆T, 即

$K_{T}^{{{\beta }_{n}}}=\{q\in Q|\exists C\in \mu (q):C\subseteq T\}$.

于是 Kβn事实上是由技能函数(Q, S, μ )通过能力模型诱导的知识结构.

由于技能函数具有析取技能函数和合取技能函数两种特殊情形, 可对这两种特殊情形进行讨论.

推论3 设(Q, S, μ )为一个析取技能函数, 则D(μ )={0, 1}.对α ∈ (0, 1], 技能函数μ 通过变精度α -模型诱导的知识结构是由μ 通过能力模型诱导的知识结构.

当(Q, S, μ )为合取技能函数时, 此时变精度α -能力模型退化为变精度α -模型.需要注意的是在技能映射(Q, S, τ )中,

τ (q)=C∈ μ (q),

于是有定理3.

定理3 设(Q, S, μ )为一个合取技能函数, (Q, S, τ )为一个技能映射, 且对q∈ Q,

$\mu (q)=\{C| \varnothing \subset C\subseteq S\}$.

对α ∈ (β _i, β _i+1], 由μ 通过变精度α -能力模型诱导的知识结构是由技能映射(Q, S, τ )通过变精度α -模型诱导的知识结构.

证明 设(Q, K^α )是由μ 通过变精度α -能力模型诱导的知识结构.对∀ T⊆S, 由定义7可得

$K_{T}^{\alpha }=\{q\in Q|\exists C\in \mu (q):\mu _{{{C}_{q}}}^{T}\ge \alpha \}$.

由于合取技能函数中只为每个问题q分配一个能力且τ (q)=C, 于是

$K_{T}^{\alpha }=\{q\in Q|\mu _{{{C}_{q}}}^{T}\ge \alpha \}=\{q\in Q|\tau _{q}^{T}\ge \alpha \}$.

变精度α -模型包括析取模型和合取模型, 而技能函数的变精度α -能力模型包含能力模型和变精度α -模型, 于是本文的变精度α -能力模型比文献[15]中的能力模型适用性更广.下面继续讨论合取技能函数下变精度α -能力模型诱导的知识结构的一些性质.

定理4 设(Q, S, μ )为一个合取技能函数, D(μ )={β ₁, β ₂, …, β _n}为μ 的技能包含度集, 则由μ 通过变精度α -能力模型诱导的知识结构 Kβi+1与 Kβn-i+1(i=1, 2, …, n-1)互为对偶.

证明 设(Q, Kβi+1)为由μ 通过变精度α -能力模型诱导的知识结构.对∀ T⊆S, α =β _i+1, i=1, 2, …, n-1, 知识结构 Kβi+1中的元素

$K_{T}^{{{\beta }_{i+1}}}=\{q\in Q| \exists C\in \mu (q):\mu _{{{C}_{q}}}^{T}\ge {{\beta }_{i+1}}\}$.

由于μ 为合取技能函数, 于是

$K_{T}^{{{\beta }_{i+1}}}=\{q\in Q|\mu _{{{C}_{q}}}^{T}\ge {{\beta }_{i+1}}\}$.

故 KTβi+1的对偶知识状态为

$Q\backslash K_{T}^{{{\beta }_{i+1}}}=Q\backslash \{q\in Q|\mu _{{{C}_{q}}}^{T}\ge {{\beta }_{i+1}}\} =\{q\in Q|\mu _{{{C}_{q}}}^{T}< {{\beta }_{i+1}}\} =\{q\in Q|1-\mu _{{{C}_{q}}}^{T}> 1-{{\beta }_{i+1}}\} =\{q\in Q|\mu _{{{C}_{q}}}^{S\backslash T}> 1-{{\beta }_{i+1}}\}$_.

由于在能力包含度1-β _i+1和1-β _i之间不存在其它的能力包含度, 从而

$Q\backslash K_{T}^{{{\beta }_{i+1}}}=\{q\in Q|\mu _{{{C}_{q}}}^{S\backslash T}\ge 1-{{\beta }_{i}}\}$.

又

β _i+β _n-i+1=1,

则

$Q\backslash K_{T}^{{{\beta }_{i+1}}}=\{q\in Q|\mu _{{{C}_{q}}}^{S\backslash T} \ge {{\beta }_{n-i+1}}\}=K_{S\backslash T}^{{{\beta }_{n-i+1}}}\in {{\mathcal{K}}^{{{\beta }_{n-i+1}}}}$

于是知识结构 Kβi+1与 Kβn-i+1(i=1, 2, …, n-1)互为对偶.

例1 设(Q, S, μ )为一个合取技能函数, 其中

Q={q₁, q₂, q₃, q₄}, S={s₁, s₂, s₃},

μ (q1₎={{s1_, s2_}}, μ (q2₎={{s3_}},

μ (q3)₌{{s2, _s3}_}, μ (q4)₌{{s2}_}.

根据定义6, 对q∈ Q, T⊆S, 可得到能力包含度 μCT, 如表1所示.

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 例1中能力包含度 μCT Table 1 Competence inclusion degrees μCT in example 1 Ø s1 s2 s3 s1s2 s1s3 s2s3 S μC11T 0 12 12 0 1 12 12 1 μC21T 0 0 0 1 0 1 1 1 μC31T 0 0 12 12 12 12 1 1 μC41T 0 0 1 0 1 0 1 1

表1 例1中能力包含度 μCT Table 1 Competence inclusion degrees μCT in example 1

为了简单起见, 将技能子集{s_l, s_m}简记为s_ls_m, μ (q_i)中的能力记为 Cij.

由表1可得, 能力包含度集

$D(\tau )=\{0, \tfrac{1}{2}, 1\}$.

根据定义7和表1, 可得知识状态 KTα如表2所示.

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 例1中知识状态 KTα Table 2 Knowledge state KTα in example 1 KT12 KT1 KT12 KT1 Ø Ø Ø s1s2 {q1, q3, q4} {q1, q4} s1 {q1} Ø s1s3 {q1, q2, q3} {q2} s2 {q1, q3, q4} {q4} s2s3 Q {q2, q3, q4} s3 {q2, q3} {q2} S Q Q

表2 例1中知识状态 KTα Table 2 Knowledge state KTα in example 1

显然, 对$\alpha \in (0, \tfrac{1}{2}]$, 由合取技能函数μ 诱导的知识结构是知识空间; 对$\alpha \in (\tfrac{1}{2}, 1]$, 由μ 诱导的知识结构为简单闭包空间.

一个技能映射通过变精度α -模型诱导的所有知识结构中不一定存在拟序空间.如例1中的两个知识结构都不能同时满足交、并封闭.本节讨论在满足什么条件下, 技能映射通过变精度α -模型诱导的所有知识结构都是拟序空间.

Spoto等^[21]指出在技能函数中, 对某个问题存在专属技能和专属能力.

定义9^[22] 设(Q, S, τ )为一个技能映射.对q∈ Q, 若如下条件成立:

1)对所有p∈ Q\{q}, 有s∉τ (p),

2)s∈ τ (q),

则技能s∈ S称为一个专属技能.

定义10 设(Q, S, τ )为一个技能映射.对q∈ Q, 若s为问题q的专属技能, 则记为s▷q.

命题4 设(Q, S, τ )为一个技能映射.对不同的q∈ Q, q'∈ Q, 若τ (q)⊂τ (q'), 则不存在s▷q.若

τ (q)⊄τ (q'), τ (q')⊄τ (q),

则存在

t∈ τ (q)\τ (q'), u∈ τ (q')\τ (q),

使得t▷q, u▷q'.

证明 由定义10显然得证.

定义11 设(Q, S, τ )为一个技能映射.若τ 满足下面两个条件:

1)至少存在一个q∈ Q, 有s▷q,

2)存在q∈ Q, q'∈ Q, 有

$\tau (q)\subset \tau ({q}') |\tau ({q}')\backslash \tau (q)|=1$,

则称τ 为良好的技能映射.

例2 设(Q, S, τ )为一个技能映射, 其中

Q= {q₁, q₂, q₃, q₄, q₅}, S={s₁, s₂, s₃, s₄, s₅},

τ (q₁)={s₂}, τ (q₂)={s₄}, τ (q₃)={s₁, s₂},

τ (q₄)={s₃, s₄}, τ (q₅)={s₁, s₂, s₅}.

根据定义11, 对∀ q∈ Q, 有s₃▷q₄, s₅▷q₅, 且有

τ (q₁)⊂τ (q₃)⊂τ (q₅), τ (q₂)⊂τ (q₄).

可发现

$|\tau ({{q}_{3}})\backslash \tau ({{q}_{1}})|=|\tau ({{q}_{5}})\backslash \tau ({{q}_{3}})|=|\tau ({{q}_{4}})\backslash \tau ({{q}_{2}})|=1$,

于是τ 为一个良好的技能映射.

定理5 设(Q, S, τ )为一个技能映射.对α ∈ (0, 1], (Q, K^α )为由(Q, S, τ )通过变精度α -模型诱导的知识结构.(Q, K^α )为拟序空间, 当且仅当τ 为一个良好的技能映射.

证明 假设对α ∈ (0, 1], (Q, K^α )为拟序空间, 则对∀ KT1α∈ K^α , KT2α∈ K^α , 其中T₁⊆S, T₂⊆S, 必有

KT1α∪ KT2α∈ K^α , KT1α∩ KT2α∈ K^α .

于是T₁∪ T₂诱导的知识状态为

KT1⋃T2α= KT1α∪ KT2α,

T₁∩ T₂诱导的知识状态为

KT1⋂T2α= KT1α∩ KT2α.

若T₁⊄T₂, 则

${{T}_{1}}\bigcap {{T}_{2}}=\varnothing $, $|({{T}_{1}}\bigcup {{T}_{2}})\backslash ({{T}_{1}}\bigcap {{T}_{2}})|> 1$.

若T₁⊂T₂, 则

$|({{T}_{1}}\bigcup {{T}_{2}})\backslash ({{T}_{1}}\bigcap {{T}_{2}})|\ge 1$.

不妨设

τ (q)=T₁∩ T₂, τ (q')=T₁∪ T₂,

存在s∈ τ (q')\τ (q), 使得

$|\tau ({q}')\backslash \tau (q)|=|s|=1$,

于是s▷q'.

反过来, 令

$\mathcal{K}=\{K_{T}^{\alpha }|T\subseteq S\}\subseteq {{\mathcal{K}}^{\alpha }}$,

其中α ∈ (0, 1].对∀ q∈ Q, KTα表示由T诱导的知识状态.若对∀ T⊂T'⊆S, 则由T和T'诱导的知识状态分别为 KTα和 KT'α, 且有 KTα⊂ KT'α.这意味着T∩ T'=T诱导的知识状态为

KTα∩ KT'α= KTα, T∪ T'=T'

诱导的知识状态为

KTα∪ KT'α= KT'α.

于是对∀ K⊆K^α , 有

∩ K∈ K^α , ∪ K∈ K^α ,

故K^α 为一个拟序空间.

推论4^[2] 任意有限的序空间是学习空间, 而学习空间是良级的知识结构.

由推论3, 有如下定理6.

定理6 设(Q, S, τ )为一个技能映射.对α ∈ (0, 1], (Q, K^α )是由(Q, S, τ )通过变精度α -模型诱导的知识结构, (Q, K^α )为拟序空间当且仅当(Q, K^α )是良级的.

证明 因为对∀ τ (q)⊂τ (q'), 有

$|\tau ({q}')\backslash \tau (q)|=1$,

则有K_q≠ K_q', 于是由技能映射(Q, S, τ )通过变精度α -模型诱导的知识结构均是可辨识的, 即(Q, K^α )是序空间.故由定理5和推论3可知, (Q, K^α )是良级的.

反之, 由定理5显然得证.

定理7 设(Q, S, τ )为一个技能映射.对α ∈ (0, 1], (Q, K^α )是由(Q, S, τ )通过变精度α -模型诱导的知识结构, (Q, K^α )是良级的当且仅当τ 是一个良好的技能映射.

证明 由定理5和定理6可证.

例3 设

Q={q₁, q₂, q₃, q₄}, S={s₁, s₂, s₃, s₄, s₅}

τ (q1₎={s2_, s3_}, τ (q2₎={s3_, s5_},

τ (q3)₌{s1, _s2, _s3}_, τ (q4)₌{s3, _s4, _s5}_.

通过计算可得到τ 的技能包含度集为

$D(\tau )=\{0, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}, 1\}$,

且由技能映射(Q, S, τ )通过变精度α -模型诱导的知识结构分别为

K13={Ø , {q₃}, {q₄}, {q₁, q₃}, {q₂, q₄}, {q₃, q₄}, {q1_, q3_, q4_}, {q2_, q3_, q4_}, Q},

K12={Ø , {q₁}, {q₂}, {q₁, q₂}, {q₁, q₃}, {q₂, q₄}, {q1_, q2_, q3_}, {q1_, q2_, q4_}, Q},

K23={Ø , {q₃}, {q₄}, {q₁, q₃}, {q₂, q₄}, {q₃, q₄}, {q1_, q3_, q4_}, {q2_, q3_, q4_}, Q},

K¹={Ø , {q₁}, {q₂}, {q₁, q₂}, {q₁, q₃}, {q₂, q₄}, {q1_, q2_, q3_}, {q1_, q2_, q4_}, Q}.

可发现所有的知识结构都是满足交并封闭的, 于是为良级的知识结构.

例4 设

Q={q₁, q₂, q₃}, S={s₁, s₂, s₃, s₄, s₅},

定义技能映射τ :

τ (q₁)={s₁, s₂, s₅}, τ (q₂)={s₁, s₃, s₄}, τ (q3₎={s2_, s4_}.

τ 的技能包含度集为

$D(\tau )= \{0, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}, 1\}$.

显然, τ 不满足良好技能映射的条件2).对α ∈ (β _i, β _i+1], i=1, 2, 3, 4, 由τ 通过变精度α -模型诱导的知识结构分别为

K13={Ø , {q₁}, {q₂}, {q₁, q₂}, {q₁, q₃}, {q₂, q₃}, Q},

K12={Ø , {q₁}, {q₂}, {q₃}, {q₁, q₂}, {q₁, q₃}, {q₂, q₃}, Q},

K23={Ø , {q₁}, {q₂}, {q₃}, {q₁, q₂}, {q₁, q₃}, {q₂, q₃}, Q},

K¹={Ø , {q₁}, {q₂}, {q₃}, {q₁, q₃}, {q₂, q₃}, Q}.

通过上述知识结构可发现, 由τ 诱导的所有知识结构中至少有一个不为拟序空间.

在现实生活中, 不同个体具有不同的技能或能力, 不同的技能或能力可能解决相同问题, 于是出现等价的技能或能力, 可根据个体的知识状态对其下一步需要学习的技能进行规划.从概念认知^{[23, 25]}的角度上看, 个体学习技能是一种概念认知更新的过程, 即使在学习某个技能的过程中没有使个体的知识状态发生改变, 但个体的认知是有细微更新的.因此, 若要对个体的学习进行指导, 对其技能学习的缩减和学习路径的规划尤为重要.

4.1 基于技能映射τ 的极小技能子集族

给定一个技能映射(Q, S, τ ), 对∀ q∈ Q, 若∃T_i⊆S, T_j⊆S, 使得 τqTi= τqTj, 则T_i和T_j是等价的技能子集.由于等价技能子集的存在, 极小技能子集族并不唯一.个体在解决问题的过程中, 可根据自身需要选择学习相应的技能, 可有选择地删除技能T_i或T_j.

定义12 设(Q, S, τ )为一个技能映射, 对T⊆S, T'⊆S, q∈ Q, 若有 τqT= τqT', 则称T'与T等价, 记为T'~T.

$[T]=\{{T}'\subseteq S|\forall q\in Q, \tau _{q}^{T}=\tau _{q}^{{{T}'}}\}$

是T的一个等价类.对任意[T], 任取一个T'∈ [T], 所有T'构成的集族Y被称为关于技能映射τ 的一个极小技能子集族.

需要注意的是, 对T_i⊆S, T_j⊆S, ∀ q∈ Q, 若有 τqTi= τqTj, 则一定不会有T_i⊂T_j.假设对 τqTi= τqTj, 有T_i⊂T_j, 则∃T_k⊆S, 使得

τqTi+ τqTk= τqTj,

即 τqTiTk= τqTj, 于是T_i⊂T_j且∃q∈ Q, 使得 τqTi< τqTj, 存在矛盾.故[T]中元素是互不可比较的, 即∀ T'∈ [T]都是极小的技能子集.

对于技能映射(Q, S, τ ), 对∀ q∈ Q, 取遍Y中元素计算得到的技能包含度集记为

${D}'(\tau )=\{\tau _{q}^{{{T}_{i}}}| q\in Q, {{T}_{i}}\in Y\}$.

对q∈ Q的技能包含度集记为

${D}'({{\tau }_{q}})=\{\tau _{q}^{{{T}_{i}}}|{{T}_{i}}\in Y\}$,

显然

D'(τ )=∪ D'(τ _q).

例5 设(Q, S, τ )为一个技能映射, 其中

Q={q₁, q₂, q₃}, S={s₁, s₂, s₃, s₄, s₅}, τ (q1₎={s1_, s2_}, τ (q2₎={s4_, s5_}, τ (q3₎={s2_, s3_}.

根据定义4可得到技能包含度 τqT如表3所示.

表3

Table 3

表3(Table 3)

表3 例5中技能包含度 τqT Table 3 Skill inclusion degrees τqT in example 5 τq1T τq2T τq3T τq1T τq2T τq3T τq1T τq2T τq3T Ø 0 0 0 s2s4 12 12 12 s2s3s4 12 12 1 s1 12 0 0 s2s5 12 12 12 s2s3s5 12 12 1 s2 12 0 12 s3s4 0 12 12 s2s4s5 12 1 12 s3 0 0 12 s3s5 0 12 12 s3s4s5 0 1 12 s4 0 12 0 s4s5 0 1 0 s1s2s3s4 1 12 1 s5 0 12 0 s1s2s3 1 0 1 s1s2s3s5 1 12 1 s1s2 1 0 12 s1s2s4 1 12 12 s1s2s4s5 1 1 12 s1s3 12 0 12 s1s2s5 1 12 12 s1s3s4s5 12 1 12 s1s4 12 12 0 s1s3s4 12 12 12 s2s3s4s5 12 1 1 s1s5 12 12 0 s1s3s5 12 12 12 S 1 1 1 s2s3 12 0 1 s1s4s5 12 1 0

表3 例5中技能包含度 τqT Table 3 Skill inclusion degrees τqT in example 5

由表3和定义4可知, 技能包含度集

$D(\tau )= \{0, \tfrac{1}{2}, 1\}$.

对∀ q∈ Q, 有

τqs2= τqs1+ τqs3= τqs1s3, τqs4= τqs5.

根据定义12和表3, 显然可将2^S分为21个等价类, 从而关于τ 的一个极小技能子集族为

Y={Ø , {s₁}, {s₂}, {s₃}, {s₄}, {s₁, s₂}, {s₁, s₄}, {s2_, s3_}, {s2_, s4_}, {s3_, s4_}, {s4_, s5_}, {s1_, s2_, s3_}, {s1, _s2, _s4}_, {s1, _s4, _s5}_, {s2, _s3, _s4}_, {s2, _s4, _s5}_, {s3, s₄, s₅}, _{s1, s₂, s₃, s₄}, _{s1, s₂, s₄, s₅}, {s2, s3_, s4_, s5_}, S_}.

该极小技能子集族的技能包含度 τqTi如表4所示.

表4

Table 4

表4(Table 4)

表4 例5中极小技能子集族的技能包含度 τqTi Table 4 Skill inclusion degrees τqTi of minimal skill subsets family in example 5 τq1T τq2T τq3T τq1T τq2T τq3T τq1T τq2T τq3T Ø 0 0 0 s2s3 12 0 1 s2s3s4 12 12 1 s1 12 0 0 s2s4 12 12 12 s2s4s5 12 1 12 s2 12 0 12 s3s4 0 12 12 s3s4s5 0 1 12 s3 0 0 12 s4s5 0 1 0 s1s2s3s4 1 12 1 s4 0 12 0 s1s2s3 1 0 1 s1s2s4s5 1 1 12 s1s2 1 0 12 s1s2s4 1 12 12 s2s3s4s5 12 1 1 s1s4 12 12 0 s1s4s5 12 1 0 S 1 1 1

表4 例5中极小技能子集族的技能包含度 τqTi Table 4 Skill inclusion degrees τqTi of minimal skill subsets family in example 5

由表4可知, 技能包含度集

${D}'(\tau )=D(\tau )=\{0, \tfrac{1}{2}, 1\}$,

因此约去冗余的技能子集, 对技能包含度集并不产生影响.根据表4和定义2, 对α =β _i+1, i=1, 2, 由技能映射τ 通过变精度α -模型诱导的知识结构分别为

K12={Ø , {q₁}, {q₂}, {q₃}, {q₁, q₂}, {q₁, q₃}, {q2_, q3_}, Q},

K1=^{Ø , {q1}_, {q2}_, {q3}_, {q1, _q2}_, {q1, _q3}_, {q2, q₃}, _Q}.

定理8 设(Q, S, τ )为一个技能映射, Y为关于τ 的一个极小技能子集族. 若对q∈ Q, 取遍Y中元素计算得到的技能包含度集为D'(τ ), 则

D'(τ )= D(τ ).

证明 对∀ q∈ Q, 存在T⊆S, T'⊆S, 使得 τqT= τqT', 则删掉技能子集T'后, 关于每个问题的技能包含度集

${D}'({{\tau }_{q}})=\{\tau _{q}^{T}|T\subseteq S\}=D({{\tau }_{q}})$,

即

${D}'(\tau )= \bigcup\limits_{q\in Q}{{D}'({{\tau }_{q}})}=\bigcup\limits_{q\in Q}{D({{\tau }_{q}})}=D(\tau )$.

定理9 设(Q, K^α )为由技能映射(Q, S, τ )通过变精度α -模型诱导的知识结构,

D'(τ )={β ₁, β ₂, …, β _n}

为Y的技能包含度集, 其中Y为关于τ 的一个极小技能子集族.对于α ∈ (β _i, β _i+1], i=1, 2, …, n-1, 由τ 通过变精度α -模型诱导的知识结构为(Q, K^α ).

证明 由定理2可知, 对∀ q∈ Q, 存在T⊆S, T'⊆S, 使得 τqT= τqT', 从而有

$K_{T}^{\alpha }=\{q\in Q|\tau _{q}^{T} \ge \alpha \}=\{q\in Q|\tau _{q}^{{{T}'}}\ge \alpha \}=K_{{{T}'}}^{\alpha }$.

于是对任意[T], 任取一个T'∈ [T], Y是由所有的T'构成的技能子集族, α ∈ (β _i, β _i+1], 技能映射(Q, S, τ )通过变精度α -模型诱导的知识结构为K^α .

推论5 设(Q, S, τ )为一个技能映射, 则保持K^α 不变的技能子集的约简必是保持D(τ )不变的技能子集的约简.

下面讨论保持技能包含度集不变的技能子集的约简是否是保持知识结构不变的技能子集的约简, 二者之间是否存在一一对应的关系.给定技能映射(Q, S, τ ), 对于q∈ Q, 由于

$D(\tau )=\bigcup\limits_{q\in Q}{D({{\tau }_{q}})}$,

于是可保持D(τ _q)不变, 进而保持D(τ )不变.

例如, 在例5中,

$D({{\tau }_{{{q}_{1}}}})=\{0, \tfrac{1}{2}, 1\}$,

对于 τq1T= τq1T', 将2^S分为

[Ø , {s₃}, {s₄}, {s₃, s₄}, {s₄, s₅}, {s₃, s₄, s₅}],

[{s₁}, {s₂}, {s₂, s₄}, {s₂, s₃}, {s₂, s₄}, {s₁, s₄, s₅},

{s₂, s₃, s₄}, {s₂, s₄, s₅}, {s₂, s₃, s₄, s₅}],

[{s₁, s₂}, {s₁, s₂, s₃}, {s₁, s₂, s₄}, {s₁, s₂, s₃, s₄},

{s₁, s₂, s₄, s₅}, S],

则对任意[T], 任取一个T'∈ [T], 计算所得技能包含度集的极小技能子集族为

Y₁={Ø , {s₁}, {s₁, s₂}},

其中由Ø 确定的技能包含度为0, {s₁}确定的技能包含度为 12, {s₁, s₂}确定的技能包含度为1. 同样地,

$D({{\tau }_{{{q}_{2}}}})= \{0, \tfrac{1}{2}, 1\}$, ${{Y}_{2}}=\{\varnothing , \{{{s}_{4}}\}, \{{{s}_{4}}, {{s}_{5}}\}\}$

$D({{\tau }_{{{q}_{3}}}})=\{0, \tfrac{1}{2}, 1\}$, ${{Y}_{3}}=\{\varnothing , \{{{s}_{2}}\}, \{{{s}_{1}}, {{s}_{3}}\}\}$.

于是

$D(\tau )=\bigcup\limits_{i=1, 2, 3}{D({{\tau }_{{{q}_{i}}}})}$,

$Y= \bigcup\limits_{i=1, 2, 3}{{{Y}_{i}}}=\{\varnothing , \{{{s}_{1}}\}, \{{{s}_{2}}\}, \{{{s}_{4}}\}, \{{{s}_{1}}, {{s}_{2}}\}, \{{{s}_{1}}, {{s}_{3}}\}, \{{{s}_{4}}, {{s}_{5}}\}\}$.

因为Y中没有包含全集S, 遍历Y中的元素, 由τ 确定的并不是知识结构, 从而保持技能包含度集不变的技能子集的约简并不一定是保持知识结构不变的技能子集的约简.

根据上述结果, 下面给出寻找极小技能子集族及获取知识结构的算法.

算法1 基于技能映射, 获取极小技能子集族及知

识结构

输入 技能映射(Q, S, τ )

输出 关于τ 的极小技能子集族Y,

知识结构(Q, K^α )

step 1 令D(τ )=Ø , Y=Ø , K^α =Ø , ta=Ø ;

step 2 计算B=2^S, 其中B为S的幂集;

step 3 遍历问题集Q的问题q和S的幂集B中的元素T;

step 4 根据定义4计算技能包含度 τqT,

D(τ )← D(τ )∪ τqT,

对D(τ )进行去重并按从小到大排列;

step 5 遍历问题集Q的问题q和S的幂集B中的元素T;

step 6 若 τqt= τqT, 则B(t)← Ø ,

Y← Y∪ (B-B(t));

step 7 令β =D(τ )(2∶ end);

step 8 遍历β 中的元素α 和Y中的元素T';

step 9 根据定义5计算知识状态 KT'α,

K^α ← K^α ∪ KT'α;

step 10 根据上述获得邻接表ta并生成知识结构图.

算法1寻找技能映射的极小技能子集族的步骤是一个启发式搜索过程.step 3和step 4为找到技能包含度集, step 5和step 6为获取一个极小技能子集族, step 8~step 10为生成知识结构.step 3和step 4的时间复杂度及空间复杂度最大为($O(|Q| |{{2}^{S}}|)$O), step 5和step 6的时间复杂度及空间复杂度最大为O(|Q| |2^S|), step 8~step 10的时间复杂度及空间复杂度最大为O(|Q| |2^S| |Y|).因此, 算法1的最大时间复杂度和空间复杂度均为

O(|Q| |2^S| |Y|).

4.2 基于技能函数μ 的极小技能子集族

接下来讨论关于技能函数μ 的极小技能子集族.类似于技能映射的情况, 可将2^S进行分类.设(Q, S, μ )为一个技能函数, 对∀ q_i∈ Q, Cij∈ μ (q_i)表示问题q_i中的第j个能力, 存在T⊆S, T' ⊆S, 使得 μCijT= μCijT', 则T与T'是等价的技能子集.根据需要可有选择地学习技能子集T或T'.

定义13 设(Q, S, μ )为一个技能函数, 对于q∈ Q, C∈ μ (q), 存在T⊆S, T'⊆S, 使得 μCT= μCT', 则T~T'.称

$[T]=\{{T}'\subseteq S|\forall q\in Q, C\in \mu (q), \mu _{C}^{T}=\mu _{C}^{{{T}'}}\}$

是T的一个等价类.对任意[T], 任取一个T'∈ [T], 所有T'构成的集族M称为关于技能函数μ 的一个极小技能子集族.

设(Q, S, μ )为一个技能函数, 对每个q_i∈ Q, 取遍M中元素计算得到的能力包含度集记为

${D}'(\mu )=\{\mu _{C_{i}^{j}}^{T}|C_{i}^{j}\in \mu ({{q}_{i}}), T\in M\}$.

对某个问题q_i∈ Q的能力包含度集记为

${D}'({{\mu }_{{{q}_{i}}}})=\{\mu _{C_{i}^{j}}^{T}|C_{i}^{j}\in \mu ({{q}_{i}}), T\in M\}$,

显然

${D}'(\mu )=\bigcup\limits_{{{q}_{i}}\in Q}{{D}'({{\mu }_{{{q}_{i}}}})}$.

定理10 设(Q, S, μ )为一个技能函数, M为一个极小技能子集族.若对q∈ Q, 取遍M中元素计算得到的技能包含度集为D'(μ ), 则D'(μ )= D(μ ).

证明 类似于定理8即证.

定理11 设(Q, K^α )是由技能函数(Q, S, μ )通过变精度α -能力模型诱导的知识结构,

D'(μ )= {β ₁, β ₂, …, β _n}

为M的能力包含度集, 其中M为关于μ 的一个极小技能子集族.对α ∈ (β _i, β _i+1], i=1, 2, …, n-1, 由μ 通过变精度α -能力模型诱导的知识结构为(Q, K^α ).

证明 类似于定理9即证.

推论6 设(Q, S, μ )为一个技能函数, 则保持K^α 不变的技能子集的约简必是保持D(μ )不变的技能子集的约简, 反之不成立.

基于上述结论, 下面给出获取极小技能子集族和知识结构的算法.

算法2 基于技能函数, 获取极小技能子集族和知

识结构

输入 技能函数(Q, S, μ )

输出 关于μ 的极小技能子集族M,

知识结构(Q, K^α )

step 1 令D(μ )=Ø , M=Ø , K^α =Ø , ta=Ø ;

step 2 计算B=2^S, 其中B为S的幂集;

step 3 遍历每个μ (q)中的能力C和B中的元素T;

step 4 根据定义6计算能力包含度 μCT,

D(μ )← D(μ )∪ μCT,

对D(μ )进行去重并按从小到大进行排列;

step 5 遍历每个μ (q)中的能力C和B中的元素T;

step 6 若 μCU= μCT, 则 μCU← Ø , B(U)← Ø ,

M← M∪ (B-B(U));

step 7 令β =D(μ )(2∶ end);

step 8 遍历β 中的元素α 和M中的元素T', 根据定义8计算知识状态 KT'α,

K^α ← K^α ∪ KT'α;

step 9 根据上述步骤获得邻接表ta并生成知识结构图.

算法2寻找技能函数的极小技能子集族的步骤也是一个启发式搜索过程.step 3和step 4为获得一个能力包含度集, step 5和step 6为获得一个极小技能子集族, step 8和step 9为生成知识结构.step 3和step 4的时间复杂度及空间复杂度最大为

$O(|{Q}'| |\mu (q)| |{{2}^{{{S}'}}}|)$,

step 5和step 6的时间复杂度及空间复杂度最大为

$O(|{Q}'| |\mu (q)| |{{2}^{{{S}'}}}|)$,

step 8和step 9的时间复杂度及空间复杂度最大为

$O(|{Q}'| |\mu (q)|\times |{{2}^{{{S}'}}}| |M|)$.

因此, 算法2的最大时间复杂度和空间复杂度均为

$O(|{Q}'| |\mu (q)| |{{2}^{{{S}'}}}| |M|)$.

例6 设(Q, S, μ )为一个技能函数, 其中,

Q= {q₁, q₂, q₃}, S={s₁, s₂, s₃, s₄},

μ (q1₎={{s2_, s4_}}, μ (q2₎={{s1_, s3_}, {s2_, s4_}},

μ (q3)₌{{s1, _s2, _s3}_, {s2, s4}_}.

根据算法2中的step 2可得到能力包含度 μCT, 如表5所示.

表5

Table 5

表5(Table 5)

表5 例6中能力包含度 μCT Table 5 Competence inclusion degrees μCT in example 6 Ø s1 s2 s3 s4 s1s2 s1s3 s1s4 s2s3 s2s4 s3s4 s1s2s3 s1s2s4 s2s3s4 S μC1jT C11 0 0 12 0 12 12 0 12 12 1 12 12 1 1 1 μC2jT C21 0 12 0 0 12 12 1 12 12 12 0 1 12 12 1 C22 0 0 12 0 12 12 0 12 12 12 1 12 1 1 1 μC3jT C31 0 13 13 13 0 23 23 13 23 13 13 1 23 23 1 C32 0 0 12 0 12 12 0 12 12 1 12 12 1 1 1

表5 例6中能力包含度 μCT Table 5 Competence inclusion degrees μCT in example 6

由表5可发现,

$\mu _{C_{i}^{j}}^{{{s}_{1}}}=\mu _{C_{i}^{j}}^{{{s}_{3}}}$, $\mu _{C_{i}^{j}}^{{{s}_{1}}{{s}_{2}}}=\mu _{C_{i}^{j}}^{{{s}_{2}}{{s}_{3}}}$,

$\mu _{C_{i}^{j}}^{{{s}_{1}}{{s}_{4}}}=\mu _{C_{i}^{j}}^{{{s}_{3}}{{s}_{4}}}$, $\mu _{C_{i}^{j}}^{{{s}_{1}}{{s}_{2}}{{s}_{4}}}=\mu _{C_{i}^{j}}^{{{s}_{2}}{{s}_{3}}{{s}_{4}}}$

于是由step 3从2^S中删去技能子集{s₃}, {s₂, s₃}, {s₃, s₄}, {s₂, s₃, s₄}, 得到一个极小技能子集族

M={Ø , {s₁}, {s₂}, {s₄}, {s₁, s₂}, {s₁, s₃}, {s₁, s₄}, {s₂, s₄}, {s₁, s₂, s₃}, {s₁, s₂, s₄}, {s₁, s₃, s₄}, S}.

由M计算得到的技能包含度集

$D(\mu )=\{0, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}, 1\}$.

根据step 4, 对于

α =β _i+1, i=1, 2, 3, 4,

技能函数μ 通过变精度α -能力模型诱导的知识结构分别为

${{\mathcal{K}}^{\tfrac{1}{3}}}=\{\varnothing , \{{{q}_{2}}, {{q}_{3}}\}, Q\}$,

${{\mathcal{K}}^{\tfrac{1}{2}}}=\{\varnothing , \{{{q}_{2}}\}, \{{{q}_{2}}, {{q}_{3}}\}, Q\}$,

${{\mathcal{K}}^{\tfrac{2}{3}}}=\{\varnothing , \{{{q}_{3}}\}, \{{{q}_{2}}, {{q}_{3}}\}, Q\}$,

${{\mathcal{K}}^{1}}=\{\varnothing , \{{{q}_{2}}\}, \{{{q}_{2}}, {{q}_{3}}\}, Q\}$.

4.3 技能与学习路径选择

不同的个体在学习过程中对新的信息或知识具有不同的接受能力, 有的接受能力较强, 有的接受能力较弱, 但这不是绝对而言的.在寻找极小技能子集族时, 涉及到技能选择的问题.如例4中, 对于$\alpha \in (0, \tfrac{1}{2}]$, 要解决问题q₁、q₃, 个体需学会技能s₂或s₁和s₃.从个体的角度来说, 如何实现较高效的学习是它们所需的学习方式.

定义14 给定技能映射(Q, S, τ )或技能函数(Q, S, μ ).对∀ [T_i], [T_j], 取T'∈ [T_i], T″∈ [T_j]且T'⊂T″, 则称T'⊂T″⊂…为有效技能学习链.

一个技能映射或技能函数有多条有效技能学习链, 例如, 在例6中, 对于 Cij∈ μ (q_i), 有

μCjis1= μCjis3, μCjis1s2= μCjis2s3, μCjis1s4= μCjis3s4, μCjis1s2s4= μCjis2s3s4.

若个体在[{s₁}, {s₃}]中选择学习{s₁}, 则在[{s₁, s₂}, {s₂, s₃}]中选择学习{s₁, s₂}, 依此类推.

根据定义14, 针对个体的学习情况, 可规划个体的学习路径, 即从Ø 到Q的一条学习路径所需学习的技能子集都具有包含关系.

例7 对于例5中的知识结构,

K12={Ø , {q₁}, {q₂}, {q₃}, {q₁, q₂}, {q₁, q₃}, {q2_, q3_}, Q},

K¹={Ø , {q₁}, {q₂}, {q₃}, {q₁, q₂}, {q₁, q₃}, {q2_, q3_}, Q}.

根据上述描述规划个体的学习路径, 如图1所示.在图中:将知识状态{q₁}简记为q₁, 其它知识状态也是如此; 箭头表示知识状态之间的包含关系, 一个把知识状态K和K'连接起来并指向K'的箭头表示K⊂K', 并且不存在K″, 使得K⊂K″⊂K'成立.当从图的左边往右看时, 它表示一种学习路径:一个个体开始时什么都不知道, 即知识状态为Ø , 通过某一条学习路径可从某一状态向另一个状态转移, 最终可达到知识状态Q.

图1

Fig.1

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图1 个体对知识结构 K12和K1的学习路径图Fig.1 Learning path of individuals for knowledge structures K12 and K1

由图1可发现, 同一知识结构不管个体选择哪条学习路径学习, 其知识状态从Ø 到Q所需学习的技能都是一样的, 只是学习的先后顺序不一样.因此, 根据个体的学习路径图, 可通过个体知识状态的变化趋势指导下一步需要学习的技能.

为了验证本文两种算法的有效性, 在6个数据集上进行实验分析.

所有实验运行环境为Windows 7操作系统, 硬件环境为Inter(R)Core(TM) i7-6700 CPU @3.40 GHz和8.00 GB内存, 软件环境为MATLAB(R2013a)和RStudio(1.1.463).

5.1 实验数据集

从UCI数据库(http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets.php)中选取Shuttle-landing-control、Adult、Lenses、StoneFlakes、Hayes、Post这6个数据集进行实验, 具体如表6所示.

表6

Table 6

表6(Table 6)

表6 实验数据集 Table 6 Experimental datasets 名称 对象个数 属性个数 Shuttle-landing-control 15 7 Adult+stretch 16 4 Lenses 24 4 StoneFlakes 79 8 Hayes 132 5 Post 90 8

表6 实验数据集 Table 6 Experimental datasets

根据本文讨论的问题, 将对象视为问题, 将属性视为技能.首先, 对表6中的数据集进行离散化处理, 得到全新的数据集, 并分别将其表示为技能映射(Q_i, S_i, τ _i)和技能函数(Q_i', S_i', μ _i), 其中i=1, 2, 3.关于技能映射(Q_i, S_i, τ _i)和技能函数(Q_i', S_i', μ _i)的详细描述如表7~表12所示.

表7

Table 7

表7(Table 7)

表7 技能映射(Q1, S1, τ 1) Table 7 Skill map (Q1, S1, τ 1) Q1 τ 1(q) Q1 τ 1(q) q11 {s16} q15 {s11, s16} q12 {s14, s15, s16} q16 {s11, s13, s14, s15} q13 {s12, s14, s15, s16} q17 {s11, s13, s14, s15, s16} q14 {s11} q18 {s11, s12, s14, s15, s16, s17}

表7 技能映射(Q1, S1, τ 1) Table 7 Skill map (Q1, S1, τ 1)

表8

Table 8

表8(Table 8)

表8 技能映射(Q2, S2, τ 2) Table 8 Skill map (Q2, S2, τ 2) Q2 τ 2(q) Q2 τ 2(q) q21 {s24} q25 {s21, s24} q22 {s22, s25} q26 {s21, s22, s25} q23 {s22, s23} q27 {s21, s22, s23} q24 {s22, s23, s24} q28 {s21, s22, s23, s24}

表8 技能映射(Q2, S2, τ 2) Table 8 Skill map (Q2, S2, τ 2)

表9

Table 9

表9(Table 9)

表9 技能映射(Q3, S3, τ 3) Table 9 Skill map (Q3, S3, τ 3) Q3 τ 3(q) Q3 τ 3(q) q31 {s36} q35 {s31, s35} q32 {s34, s36} q36 {s31, s35, s36} q33 {s32, s33, s36} q37 {s31, s34, s35} q34 {s32, s33, s34, s36} q38 {s31, s32, s33, s35}

表9 技能映射(Q3, S3, τ 3) Table 9 Skill map (Q3, S3, τ 3)

表10

Table 10

表10(Table 10)

表10 技能函数(Q1', S1', μ 1) Table 10 Skill function (Q1', S1', μ 1) Q1' μ 1(q) Q1' μ 1(q) 1 {e1, f1, g1}, {c1} 5 {a1, c1, d1}, {a1, c1, f1, g1} 2 {c1, d1}, {b1, f1, g1} 6 {b1, d1} 3 {a1, d1}, {b1, c1, d1} 7 {a1} 4 {a1, c1}, {a1, e1, f1, g1}

表10 技能函数(Q1', S1', μ 1) Table 10 Skill function (Q1', S1', μ 1)

表11

Table 11

表11(Table 11)

表11 技能函数(Q2', S2', μ 2) Table 11 Skill function (Q2', S2', μ 2) Q2' μ 2(q) Q2' μ 2(q) 1' {d2}, {a2, b2} 3' {e2}, {a2, c2} 2' {d2, e2}, {a2, b2, d2} 4' {a2, c2, e2}, {a2, c2, d2}

表11 技能函数(Q2', S2', μ 2) Table 11 Skill function (Q2', S2', μ 2)

表12

Table 12

表12(Table 12)

表12 技能函数(Q3', S3', μ 3) Table 12 Skill function (Q3', S3', μ 3) Q3' μ 3(q) Q3' μ 3(q) 1″ {c3, e3, f3, g3, h3}, {b3, c3, d3, e3, f3, g3} 6″ {c3, f3, g3} 2″ {g3, h3}, {c3, g3} 7″ {f3} 3″ {c3} 8″ {c3, f3, g3, h3}, {c3, e3, f3, g3} 4″ {c3, e3, f3, g3}, {a3, d3, e3, f3, h3} 9″ {b3, d3, f3, h3} 5″ {e3, f3}

表12 技能函数(Q3', S3', μ 3) Table 12 Skill function (Q3', S3', μ 3)