首先回顾经典粗糙集里的一些重要概念和性质, 如等价类、上下近似、正区域、边界区域等^{[1, 2, 3, 4]}.

在粒计算中, 信息粒子经常由等价类表示.假设U为论域, 是一个非空的有限集合, 则对于U中的任意对象x, 都存在一个关于x的等价类[x].[x]的构成与给定的属性集相关, 其中包含的所有对象在给定的属性集下与x都是不可分辨的.对象x关于属性集的等价类定义如下.

定义1^[3] 称五元组

DS=(U, C, V, f, d)

为一个决策系统, 其中, U为论域, C为属性全集, a∈ C,

${{V}_{a}}=\{{{x}_{a}}|x\in U\}$

为属性a的值域, f_a∶ U→ V_a为信息函数, 决策属性d∉C.则对于任意对象x∈ U, x关于属性子集B⊆C的等价类定义为

${{[x]}_{B}}=\{y\in U|{{x}_{a}}={{y}_{a}}, \forall a\in B\}$,

其中x_a、y_a分别表示对象x和对象y在属性a下的值.换句话说, 等价类[x]_B中包含的对象, 就是在属性子集B的所有属性下与对象x的属性值都相同的对象.论域U关于属性子集B的等价关系定义如下.

定义2^[3] 给定一个决策系统

DS=(U, C, V, f, d), B⊆C,

则论域U关于属性子集B的等价关系定义为

${{R}_{B}}=\{(x, y)\in U\times U|{{x}_{a}}={{y}_{a}}, \forall a\in B\}$.

由定义2中对等价关系的定义, 可得到等价关系R_B对论域U的划分:

$U/{{R}_{B}}=\{{{[x]}_{B}}|x\in U\}$.

等价关系可以把论域划分成多个互不相交的集合, 并且这些集合的并集是论域.

因为本文应用的上下近似是基于包含度函数定义的, 所以在引入上下近似之前需要先介绍包含度函数.

定义3^[4] 给定一个决策系统

DS=(U, C, V, f, d),

对于∀ X⊆U, B⊆C, 则∀ x∈ U在X中关于属性子集B的包含度函数为:

$\mu _{B}^{X}(x)=\frac{\left| X\cap {{[x]}_{B}} \right|}{\left| {{[x]}_{B}} \right|}, x\in U, X\subseteq U$.

根据定义3, 决策系统的上下近似定义如下.

定义4^[4] 给定一个决策系统

DS=(U, C, V, f, d),

对于∀ X⊆U, B⊆C, 则X关于属性子集B的下近似和上近似可以分别定义为

$\underline{{{R}_{B}}}(X)=\{x\in U|\mu _{B}^{X}(x)=1\}$,

$\overline{{{R}_{B}}}(X)=\{x\in U|\mu _{B}^{X}(x)> 0\}$.

在计算论域内所有对象x的包含度的过程中:当包含度大于0时, [x]_B与X的交集非空, 对象x属于上近似; 当包含度为1时, [x]_B完全包含于X, 对象x属于下近似.

在现实生活中, 对一个事物的观察经常可以得到不同尺度的观测值.对多尺度决策系统进行处理, 可以使复杂问题简单化, 从而有助于复杂问题的分析和解决.

由于1.1节的粗糙集理论知识在多尺度决策系统中并不适用, 因此为了解决这一问题, 本节介绍后续讨论过程会用到、并且适用于多尺度决策系统的粗糙集概念及性质, 这些概念和性质都涉及属性和尺度这两个要素.

为了简便起见, 假设1.1节提出的属性全集C中的属性都是多尺度属性, 且都有I个尺度.本文默认所有属性的尺度都是从细到粗的.值得注意的是, 决策属性d为特殊的单尺度属性, d∉C, 如表1所示的多尺度决策系统^[4].

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 有3个尺度的多尺度决策系统 Table 1 Multi-scale decision system with 3 scales U a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a41 a42 a43 d x1 1 E Y 1 E Y 1 S Y 1 S Y 1 x2 2 G Y 2 E Y 1 S Y 1 S Y 1 x3 3 G Y 3 G Y 2 S Y 2 S Y 1 x4 4 F N 4 F N 3 M N 3 M N 1 x5 5 B N 5 F N 4 L N 4 L N 1 x6 6 B N 6 B N 5 L N 4 L N 1 x7 4 F N 4 F N 1 S Y 1 S Y 2 x8 5 B N 5 F N 1 S Y 1 S Y 2 x9 6 B N 6 B N 2 S Y 2 S Y 2 x10 4 F N 4 F N 3 M N 1 S Y 1 x11 5 B N 5 F N 4 L N 1 S Y 1 x12 6 B N 6 B N 5 L N 2 S Y 1

表1 有3个尺度的多尺度决策系统 Table 1 Multi-scale decision system with 3 scales

表1的多尺度决策系统可以分解成3个单尺度决策系统:第1个尺度决策系统、第2个尺度决策系统和第3个尺度决策系统.在下文中, 为了方便起见, 只讨论所有属性都选择相同尺度的情况, 而不讨论选择不同尺度的情况.令s表示尺度, 1≤ s≤ I, 属性全集和所选尺度结合起来可形成有序对(C, s).同样, 对于∀ B⊆C, 1≤ s≤ I, 可简写为有序对(B, s).称六元组

MSDS=(U, C, I, V, f, d)

为多尺度决策系统(Multi-scale Decision System, M-SDS).

多尺度决策系统里面的等价类具体定义如下.

定义5 给定一个多尺度决策系统

MSDS=(U, C, I, V, f, d),

对于任意的对象x∈ U, B⊆C, 1≤ s≤ I, 对象x关于有序对(B, s)的等价类定义为

${{[x]}_{(B, s)}}=\left\{ y\in U|{{x}_{(a, s)}}={{y}_{(a, s)}}, \forall a\in B \right\}$,

其中, (a, s)表示属性a选择尺度s时, 对象x的属性值和对象y的属性值相同.可见, 适用于多尺度决策系统的等价类和经典粗糙集的等价类的不同点主要是:适用于多尺度决策系统的等价类的定义既考虑属性又考虑尺度.

事实上, 多尺度决策系统中同一属性的不同尺度之间的属性值存在密切关系.给定一个多尺度决策系统

MSDS=(U, C, I, V, f, d),

对于任意的属性a∈ C和任意的尺度s∈ {1, 2, …, I-1}, 存在满射

$g_{a}^{s, s+1}:{{V}_{(a, s)}}\to {{V}_{(a, s+1)}}$,

从而

${{x}_{(a, s+1)}}=g_{a}^{s, s+1}\circ ({{x}_{(a, s)}}), x\in U$,

称 gas, s+1为一个尺度信息转换.并且, 若1≤ s₁≤ s₂≤ I, 存在满射

$g_{a}^{{{s}_{1}}, {{s}_{2}}}:{{V}_{(a, {{s}_{1}})}}\to {{V}_{(a, {{s}_{2}})}}$,

其中

$g_{a}^{{{s}_{1}}, {{s}_{2}}}=g_{a}^{{{s}_{1}}, {{s}_{1}}+1}\circ g_{a}^{{{s}_{1}}+1, {{s}_{1}}+2}\circ \cdots \circ g_{a}^{{{s}_{2}}-1, {{s}_{2}}}$,

从而

${{x}_{(a, {{s}_{2}})}}=g_{a}^{{{s}_{1}}, {{s}_{_{2}}}}\circ ({{x}_{(a, {{s}_{1}})}}), x\in U$.(1)

由定义5不难得到如下关于等价类的性质.

性质1 给定一个多尺度决策系统

MSDS=(U, C, I, V, f, d), B⊆C, 1≤ s≤ I,

则∀ x∈ U, 关于(B, s)的等价类满足如下性质:

1)自反性.对于∀ x∈ U, x∈ [x]_{(B, s)};

2)对称性.对于∀ x_i∈ U, x_j∈ U, 若x_j∈ [xi](B, s), 则x_i∈ [xj](B, s).

在定义5的基础上, 可得到适用于多尺度决策系统的等价关系.

定义6 给定一个多尺度决策系统

MSDS=(U, C, I, V, f, d),

对于任意的属性子集B⊆C, 1≤ s≤ I, 则论域U关于(B, s)的等价关系可定义为

${{R}_{(B, s)}}=\{(x, y)\in U\times U|{{x}_{(a, s)}}={{y}_{(a, s)}}, \forall a\in B\}$,

故R_{(B, s)}对论域U的划分

$U/{{R}_{(B, s)}}=\left\{ {{[x]}_{(B, s)}}|x\in U \right\}$.

结合定义6, 若R_{(C, 1)}⊆R_d, 则称

MSDS=(U, C, I, V, f, d)

是协调的; 若R_{(C, 1)}⊈R_d, 则称MSDS是不协调的.本文讨论的是协调的多尺度决策系统.

根据定义3和定义5更新包含度函数.更新后的包含度函数为

$\mu _{B, s}^{X}(x)=\frac{\left| X\cap {{[x]}_{(B, s)}} \right|}{\left| {{[x]}_{(B, s)}} \right|}, x\in U, X\subseteq U$.

当包含度函数大于0时, [x]_{(B, s)}与X的交集非空, 此时x属于上近似; 当包含度函数等于1时, [x]_{(B, s)}包含于X, 此时x属于下近似.基于更新后的包含度函数, 不难得到适用于多尺度决策系统的上下近似.

定义7 给定一个多尺度决策系统

MSDS=(U, C, I, V, f, d),

∀ X⊆U, B⊆C, 1≤ s≤ I, 则X关于(B, s)的上下近似定义如下:

$\underline{{{R}_{(B, s)}}}(X)=\{x\in U|\mu _{B, s}^{X}(x)=1\}$,

$\overline{{{R}_{(B, s)}}}(X)=\{x\in U|\mu _{B, s}^{X}(x)> 0\}$.

定义8 给定一个多尺度决策系统

MSDS=(U, C, I, V, f, d), B⊆C, 1≤ s≤ I,

决策属性d可将U划分成互不相交的多个集合, 设

U/{d}={X₁, X₂, …, X_K},

则决策属性d关于(B, s)的上下近似可表示为

$\underline{{{R}_{(B, s)}}}(d)=\bigcup\nolimits_{i=1}^{K}{\underline{{{R}_{(B, s)}}}}({{X}_{i}})$,

$\overline{{{R}_{(B, s)}}}(d)=\bigcup\nolimits_{i=1}^{K}{\overline{{{R}_{(B, s)}}}({{X}_{i}})}$.

由上式可以容易看出, 决策属性关于(B, s)的上(下)近似是

U/{d}={X₁, X₂, …, X_K}

中所有划分X_i的上(下)近似的并集.事实上, 下近似 R(B, s)¯(d)同时也是正区域, 即

$PO{{S}_{(B, s)}}(d)=\underline{{{R}_{(B, s)}}}(d)=\bigcup\nolimits_{i=1}^{K}{\underline{{{R}_{(B, s)}}}}({{X}_{i}}).$.

决策属性d关于(B, s)的上近似与下近似的差为边界区域:

$\begin{align} & B{{N}_{(B, s)}}(d)=\overline{{{R}_{(B, s)}}}(d)-\underline{{{R}_{(B, s)}}}(d) \\ & =\overline{{{R}_{(B, s)}}}(d)-PO{{S}_{(B, s)}}(d). \end{align}$.

由定义8得到如下性质2.

性质2 给定一个多尺度决策系统

MSDS=(U, C, I, V, f, d), B⊆C, 1≤ s≤ I,

则

1)POS_{(Ø , s)}(d)=Ø ,

2) R(B, s)¯(d)=U,

3)POS_{(B, s)}(d)∩ BN_{(B, s)}(d)=Ø ,

4)POS_{(B, s)}(d)∪ BN_{(B, s)}(d)=U.

上述介绍的等价类、上下近似、正区域和边界区域等概念分别关于属性子集和尺度存在单调性, 这些单调性可以加速算法, 减少算法的计算量.

性质3 关于属性子集的单调性 给定一个多尺度决策系统

MSDS=(U, C, I, V, f, d), B₁⊆B₂⊆C, 1≤ s≤ I,

则满足如下性质:

1)$\forall x\in U, {{[x]}_{({{B}_{1}}, s)}}\supseteq {{[x]}_{({{B}_{2}}, s)}}$;

2)${{R}_{({{B}_{1}}, s)}}\supseteq {{R}_{({{B}_{2}}, s)}}$;

3)$\forall X\in U/\{d\}, \underline{{{R}_{({{B}_{1}}, s)}}}(X)\subseteq \underline{{{R}_{({{B}_{2}}, s)}}}(X), \overline{{{R}_{({{B}_{1}}, s)}}}(X)\supseteq \overline{{{R}_{({{B}_{2}}, s)}}}(X)$;

4)$PO{{S}_{({{B}_{1}}, s)}}(d)\subseteq PO{{S}_{({{B}_{2}}, s)}}(d), B{{N}_{({{B}_{1}}, s)}}(d)\supseteq B{{N}_{({{B}_{2}}, s)}}(d)$.

证明 先证1).对于$\forall x'\in {{[x]}_{({{B}_{2}}, s)}}$, 由定义5可知

$x{{'}_{(a, s)}}={{x}_{(a, s)}}\forall a\in {{B}_{2}}$.

由于B₁⊆B₂, 因此

x'_{(a, s)}=x_{(a, s)}, ∀ a∈ B₁,

故$x'\in {{[x]}_{({{B}_{1}}, s)}}$, 可得

${{[x]}_{({{B}_{1}}, s)}}\supseteq {{[x]}_{({{B}_{2}}, s)}}$.

再证2).对于$\forall (x, y)\in {{R}_{({{B}_{2}}, s)}}$, 可知

x_{(a, s)}=y_{(a, s)}, ∀ a∈ B₂.

由于B₁⊆B₂, 因此

x_{(a, s)}=y_{(a, s)}, ∀ a∈ B₁,

故$(x, y)\in {{R}_{({{B}_{1}}, s)}}$, 可得

${{R}_{({{B}_{1}}, s)}}\supseteq {{R}_{({{B}_{2}}, s)}}$.

再证3).对于

$\forall x\in \underline{{{R}_{({{B}_{1}}, s)}}}(X)$,

可得

${{[x]}_{({{B}_{1}}, s)}}\subseteq X$,

由性质1)可知

${{[x]}_{({{B}_{2}}, s)}}\subseteq {{[x]}_{({{B}_{1}}, s)}}\subseteq X$,

所以

$x\in \underline{{{R}_{({{B}_{2}}, s)}}}(X)$,

故而

$\underline{{{R}_{({{B}_{1}}, s)}}}(X)\subseteq \underline{{{R}_{({{B}_{2}}, s)}}}(X)$.

类似可证

$\overline{{{R}_{({{B}_{1}}, s)}}}(X)\supseteq \overline{{{R}_{({{B}_{2}}, s)}}}(X)$.

最后证4).假设

U/{d}={X₁, X₂, …, X_K},

由性质2)可知

$\underline{{{R}_{({{B}_{1}}, s)}}}({{X}_{i}})\subseteq \underline{{{R}_{({{B}_{2}}, s)}}}({{X}_{i}}), i=1, 2, \cdots , K$.

由定义8知

$PO{{S}_{({{B}_{j}}, s)}}(d)=\bigcup\nolimits_{i=1}^{K}{\underline{{{R}_{({{B}_{j}}, s)}}}({{X}_{i}})}j=1, 2$.

因此显然

$PO{{S}_{({{B}_{1}}, s)}}(d)\subseteq PO{{S}_{({{B}_{2}}, s)}}(d)$.

同样, 由性质2)可知

$\overline{{{R}_{({{B}_{1}}, s)}}}(d)\supseteq \overline{{{R}_{({{B}_{2}}, s)}}}(d)$,

又因为

$B{{N}_{({{B}_{j}}, s)}}(d)=\overline{{{R}_{({{B}_{j}}, s)}}}(d)-PO{{S}_{({{B}_{j}}, s)}}(d), j=1, 2$,

故而

$B{{N}_{({{B}_{1}}, s)}}(d)\supseteq B{{N}_{({{B}_{2}}, s)}}(d)$.

性质3表示正区域随着属性的增多而扩大, 与此同时边界区域随着属性的增多而缩小.事实上, 不只是属性子集, 尺度也会影响上述概念的单调性, 具体如下所示.

性质4 关于尺度的单调性 给定一个多尺度决策系统

MSDS=(U, C, I, V, f, d), B⊆C, 1≤ s₁≤ s₂≤ I,

则满足如下关系:

1)$\forall x\in U, {{[x]}_{(B, {{s}_{1}})}}\subseteq {{[x]}_{(B, {{s}_{2}})}}$;

2)${{R}_{(B, {{s}_{1}})}}\subseteq {{R}_{(B, {{s}_{2}})}}$;

3)$\forall X\in U/\{d\}, \underline{{{R}_{(B, {{s}_{1}})}}}(X)\supseteq \underline{{{R}_{(B, {{s}_{2}})}}}(X), \overline{{{R}_{(B, {{s}_{1}})}}}(X)\subseteq \overline{{{R}_{(B, {{s}_{2}})}}}(X)$;

4)$PO{{S}_{(B, {{s}_{1}})}}(d)\supseteq PO{{S}_{(B, {{s}_{2}})}}(d), B{{N}_{(B, {{s}_{1}})}}(d)\subseteq B{{N}_{(B, {{s}_{2}})}}(d)$.

证明 先证1).由式(1)可知, 存在尺度信息转换$g_{a}^{{{s}_{1}}, {{s}_{2}}}$, 使得对于∀ x∈ U,

${{x}_{(a, {{s}_{2}})}}=g_{a}^{{{s}_{1}}, {{s}_{2}}}({{x}_{(a, {{s}_{1}})}})$.

因为对于$\forall x'\in {{[x]}_{(B, {{s}_{1}})}}$,

$x{{'}_{(a, {{s}_{1}})}}={{x}_{(a, {{s}_{1}})}}, \forall a\in B$,

所以

$x{{'}_{(a, {{s}_{2}})}}=g_{a}^{{{s}_{1}}, {{s}_{2}}}\circ (x{{'}_{(a, {{s}_{1}})}})=g_{a}^{{{s}_{1}}, {{s}_{2}}}\circ ({{x}_{(a, {{s}_{1}})}})={{x}_{(a, {{s}_{2}})}}, \forall a\in B$,

故$x'\in {{[x]}_{(B, {{s}_{2}})}}$, 可得

${{[x]}_{(B, {{s}_{1}})}}\subseteq {{[x]}_{(B, {{s}_{2}})}}$.

2)~4)的证明过程类似于性质3, 为了简便起见, 不再单独证明.

性质4表示正区域随着尺度的增大而缩小, 与此同时边界区域随着尺度的增大而扩大.

结合性质3和性质4, 可以得到如下性质5.

性质5 给定一个多尺度决策系统

MSDS=(U, C, I, V, f, d), B⊆C, 1≤ s≤ I,

则满足如下性质:

1)$\forall x\in U, {{[x]}_{(B, s)}}\supseteq {{[x]}_{(C, 1)}}$;

2)${{R}_{(B, s)}}\supseteq {{R}_{(C, 1)}}$;

3)$\forall X\in U/\{d\}, \underline{{{R}_{(B, s)}}}(X)\subseteq \underline{{{R}_{(C, 1)}}}(X), \overline{{{R}_{(B, s)}}}(X)\supseteq \overline{{{R}_{(C, 1)}}}(X)$;

4)$PO{{S}_{(B, s)}}(d)\subseteq PO{{S}_{(C, 1)}}(d), B{{N}_{(B, s)}}(d)\supseteq B{{N}_{(C, 1)}}(d)$.

证明 为了简便起见, 只证明

POS_{(B, s)}(d)⊆POS_{(C, 1)}(d).

因为s≥ 1, 由性质4可得

POS_{(C, s)}(d)⊆POS_{(C, 1)}(d).

又因为B⊆C, 由性质3可得

POS_{(B, s)}(d)⊆POS_{(C, s)}(d).

综上可得

POS_{(B, s)}(d)⊆POS_{(C, 1)}(d).

其它性质的证明是相似的, 不再赘述.

性质5表示对于任意的属性子集B, 不管该属性子集选取的尺度s是多少, 都不会比属性全集C在尺度1下的正区域更大, 边界区域则相反.