引用本文
李金海, 张瑞, 智慧来, 孙文. 知识空间理论综述. 模式识别与人工智能, 2024,37(2): 106-127
LI Jinhai, ZHANG Rui, ZHI Huilai, SUN Wen. A Review of Knowledge Space Theory. PATTERN RECOGNITION AND ARTIFICIAL INTELLIGENCE, 2024,37(2): 106-127.  
Doi: 10.16451/j.cnki.issn1003-6059.202402002
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《模式识别与人工智能》编辑部
知识空间理论综述
李金海1,2, 张瑞1,2, 智慧来3, 孙文4
1.昆明理工大学 数据科学研究中心 昆明 650500
2.昆明理工大学 理学院 昆明 650500
3.泉州师范学院 数学与计算机科学学院 泉州 362000
4.闽南师范大学 数学与统计学院 漳州 363000
通讯作者:

李金海,博士,教授,主要研究方向为认知计算、粒计算、大数据分析、概念格、粗糙集.E-mail:jhlixjtu@163.com.

作者简介:

张 瑞,硕士研究生,主要研究方向为形式概念分析、粒计算、知识空间理论.E-mail:zhangrui032@163.com.

智慧来,博士,教授,主要研究方向为形式概念分析、粗糙集、粒计算.E-mail:zhihuilai@126.com.

孙 文,博士,讲师,主要研究方向为知识空间理论、认知诊断理论、模糊集理论.E-mail:wsun0907@126.com.

收稿日期: 2024-01-29 修回日期: 2024-02-29
资助项目: 国家自然科学基金项目(No.11971211,12171388)资助
摘要

知识空间理论是一种研究教育规律的科学方法,已取得一系列研究成果.文中旨在全面综述知识空间理论的研究工作.首先,阐述构建知识结构的方法和原则,介绍良级性的研究内容,并强调其在知识空间理论研究中的重要性,归纳总结推测关系的相关工作,并介绍问题之间、项目之间推测关系的研究方法.然后,分别从技能映射、技能函数、能力-绩效方法三方面梳理基于能力的知识空间理论的研究进展.进一步地,概述知识空间理论与概率模型、粒计算等结合的研究现状,并介绍知识空间理论在辅助学习与自适应测试方面的应用.最后,探讨上述研究中存在的关键科学问题,并提出初步的研究思路,为该领域的后续研究提供有益的参考.

关键词: 知识空间理论; 知识结构; 技能映射; 良级性; 推测关系; 形式概念分析
中图分类号:TP182
A Review of Knowledge Space Theory
LI Jinhai1,2, ZHANG Rui1,2, ZHI Huilai3, SUN Wen4
1. Data Science Research Center, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650500
2. Faculty of Science, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650500
3. School of Mathematics and Computer Science, Quanzhou Normal University, Quanzhou 362000
4. School of Mathematics and Statistics, Minnan Normal University, Zhangzhou 363000
Corresponding author:
LI Jinhai, Ph.D., professor. His research interests include cognitive computing, granular computing, big data analysis, concept lattice and rough set.

About Author:
ZHANG Rui, Master student. His research interests include formal concept analysis, gra-nular computing and knowledge space theory.
ZHI Huilai, Ph.D., professor. His research interests include formal concept analysis, rough set and granular computing.
SUN Wen, Ph.D., lecturer. His research interests include knowledge space theory, cognitive diagnostic theory and fuzzy set theory.

Fund:National Natural Science Foundation of China(No.11971211,12171388)
Abstract

Knowledge space theory is a scientific method for studying educational principles, and it yields a series of research findings. This paper is intended to comprehensively review the research efforts on knowledge space theory. Firstly, the methods and principles of constructing knowledge structures are elaborated, the research contents related to the wellgradedness are introduced, and their importance to the study of knowledge space theory is underscored. The related work of surmise relation is summarized, as well as the research methods between problems and between items. Then, research progress of competence-based knowledge space theory is delineated from three aspects: skill maps, skill functions and competence-performance approaches. Furthermore, the researches combinating knowledge space theory with probability models and granular computing are outlined, including the application of knowledge space theory in assisted learning and adaptive testing. Finally, the key scientific issues are explored in the above research fields and some preliminary research ideas are provided, providing beneficial references for subsequent studies in this field.

Key words: Key Words Knowledge Space Theory; Knowledge Structure; Skill Map; Wellgradedness; Surmise Relation; Formal Concept Analysis

知识空间理论(Knowledge Space Theory, KST)[1]是由比利时数学心理学家Doignon和美国数学心理学家Falmagne于1985年提出的一种数学理论.基于教育学和心理学等理论, KST建立一套数学框架以研究教育规律, 为教育评价提供一种有效的科学方法.KST分析学习者对不同水平的一系列有关问题的解答, 确定个体当前的知识状态, 反映学习者的认知水平, 并为个体的下一步学习给出指导.因此, 知识空间理论的研究背景和意义非常明确, 能与诸多研究方向融合.截至目前, KST已成功应用于辅助学习和自适应测试等领域[2, 3, 4, 5].

知识结构[1]是知识空间理论中的重要概念之一, 针对个体提供从信息碎片中生成的有意义的知识框架, 为建立特定领域或学科的知识之间的关系并为评估学习者掌握的知识提供依据.如何有效构建知识结构是知识空间理论的基本研究问题之一, 也是进一步规划学习路径的前提和基础.

目前, 知识结构的构建有专家问询、数据驱动、技能映射等方法.经典的知识结构通常指二分知识结构, 它要求学习者对每个问题的回答评价只能是完全正确或完全不正确, 这种假设对简单问题较适用, 但是对于复杂问题, 如学习者对某个问题的掌握程度为70%, 即他只能部分正确回答该问题, 此时将其评价为完全正确或完全不正确都是不合理的.

在教育学上, 个体对问题的回答的评价不局限于完全正确或完全不正确, 那么二分的KST有必要推广到多分情形[6], 即个体对某个问题的回答可有多个评价响应值的选择.多分知识空间理论能应用到心理咨询、态度评估、教育教学等方面.例如:Likert五级评分法[7, 8]包含五个等级, 即完全同意、同意、中立、不同意、完全不同意, 可理解为在数学应用题的回答中, 对学生回答的评价不仅仅是对与错, 还可以包括更多的层次和维度.这允许在KST知识评价的过程中, 对问题的解答可引入多个响应值, 使评价过程可根据个体对问题的实际回答情况给予合适的响应值.

良级性[9]是知识结构的重要性质之一, 表示学习者在某一领域的知识学习具有渐进性和结构性.良级性是由并封闭性质发展而来的[9, 10], 在KST研究初期, 该理论将并封闭性质作为公理[1].其教育心理学语义解释为:如果两位学习者在某个知识域Q上的知识状态分别为K和L, 那么经过相互学习之后他们的知识状态可达到K∪ L.

众所周知, 构建知识结构的目的是为了使学习者能依据知识结构对复杂问题进行有效学习, 而缺乏渐进性学习过程和层次结构的知识结构通常使学习者难以深度理解学科或领域知识, 不利于较好达到构建知识结构的目的.因此, 对良级性进行深入研究是有实际意义的.实际上, 良级性不仅反映知识的组织方式, 是一种促进学习者逐步深入理解知识的机制, 也是知识逐级建构的过程.学习者能更清晰、牢固地掌握和体会知识的形成过程与形成机制, 并在解决复杂问题时表现出更高层次的认知能力和知识管理能力.

推测关系[1]作为丰富和完善知识结构的知识与层次结构的重要手段, 已在认知科学和教育领域受到广泛关注.推测关系是指学习者在学习过程中, 基于已有的知识和信息, 对新的、未知的知识进行推断和诱导, 形成更完整全面的知识结构的过程[5].推测关系的建立依赖于已有的知识结构, 同时推测关系的研究会进一步加深对知识结构内部知识之间关联的理解, 那么如何有效构造推测关系显得尤为重要.

目前推测关系的构造主要基于专家判断、数据、技能等方法.另外, 将表示知识评估的信息体划分的子集称为测试.测试间的推测关系描述项目之间的先决条件关系, 即一个测试中的项目可能会对另一个测试中的项目有影响或存在依赖关系.通过将推测关系的研究与测试结合, 教育者可更全面了解学习者的认知过程和知识结构, 更好指导个性化学习并提供有针对性的学习指导.

基于能力的知识空间理论(Competence-Based KST, CbKST)[11, 12, 13]主要用于在技能水平上对领域和学习者的知识进行建模、组织和表征.它建立在知识空间理论的框架上, 不仅关注个体可观察到的行为, 还充分考虑个体潜在的认知能力和认知结构[14, 15].CbKST是一种知识表征模式, 包含对教与学以及以活动为导向的理解, 因此代表以学习者为中心的学习目标自适应调整的观点[16].相比经典知识结构, CbKST更注重学习者的个体差异、任务导向以及认知诊断.

早期的知识空间理论并未关注“ 个人如何解决问题” , 也未关注解决属于个人知识状态的问题涉及的技能、能力和知识.事实上, 人们学到的不是问题, 而是解决问题必需的技能和方法, 从解决一个问题中学到的技能可被个人转移并解决其它问题.之后, 学者们提出许多扩展的知识空间理论, 涵盖技能的认知水平, 这些扩展的KST称为基于能力的知识空间理论, 并分为两个平行和相互依存的水平:能力水平和表现水平.由此CbKST的研究变得越来越深入.

总之, CbKST的研究为领域和学习者的知识表示提供一个强大的框架, 可应用于实现智能、自适应的电子学习, 并提高超媒体的可用性和学习性能.

知识空间理论的发展离不开与概率以及形式概念分析(Formal Concept Analysis, FCA)[17]等理论的深度结合.在KST中, 众多研究都基于理想状态完成, 即个体对问题的回答避免粗心大意的错误或幸运猜测的正确, 而在实际学习过程中, 从可观察的反应模式到不可观察的知识状态的结论通常都是随机的, 粗心的错误以及幸运的猜对都是不可避免的现象.因此, 在给定状态的情况下引入概率是有意义的, 使用概率模型描述个体对问题的回答有粗心错误或幸运猜对的事实.Falmagne等[5]描述许多简单的概率模型, 并说明如何在知识空间理论中引入概率.这些概率模型主要基于马尔可夫模型或潜在类别模型(Latent Class Model, LCM)进行分析.结合概率的知识空间理论可更准确量化学生对各种知识的理解程度, 使评估更科学合理, 有助于满足学生多样化的学习需求.

另外, 知识空间理论和形式概念分析有许多相似之处[18], 这两种方法都是在20世纪80年代初提出的, 从理论和实践的角度上看, FCA与KST都是从两个维度刻画对象, 即外在表现行为和内在认知能力.两者分别对应FCA中概念的外延和内涵, 以及KST中个体的知识状态与能力状态.从一开始, 学者们就意识到这两者之间存在的紧密关系, 而且它们的形式化表示方法也很相似[19].KST一直专注于学习主题[20, 21], FCA则强调概念之间的层次化关系, 基于FCA研究KST有助于深化对知识结构的理解和定制适应学习者个性需求的学习路径, 提高学习效率和效果.

除此之外, 粗糙集和模糊集的引入也都促进知识空间理论的发展.具体地, 粗糙集中属性约简的思想促进KST中技能约简的研究; 将模糊集与KST结合能更全面描述个体对问题的掌握情况, 以及个体对技能的熟练程度, 使KST的构建更符合实际学习过程.

总之, 知识空间理论的研究涵盖多个方面的内容, 主要包括知识结构的构建、知识结构的良级性、知识结构的推测关系、基于能力的知识空间理论、知识空间理论的推广及应用等.

1 知识空间理论的主要研究内容与进展

为了讨论方便, 本文使用Q表示非空问题域即知识域, K表示Q的子集构成的知识状态集族, (Q, K)表示知识结构, 至少包含Ø 和Q.满足并封闭的知识结构为知识空间, 满足交封闭的知识结构为简单闭包空间, 既满足并封闭又满足交封闭的知识结构为拟序空间.

1.1 知识结构的构建

在KST中, 知识结构是用于评估学习者的知识和指导未来学习的主要特征形式, 如何有效构建知识结构是进一步运用KST解决实际问题的基础.下面分别从构建二分知识结构以及多分知识结构这两方面介绍该方向的研究状况.

1.1.1 二分知识结构的构建

知识结构的构建通常有专家问询、数据驱动、技能映射等方法.

第一类是基于专家问询的二分知识结构构建方法.早在1990年, Falmagne等[22]讨论知识空间理论的各方面, 并详细分析实践中的知识空间的构建问题, 指出可通过咨询该领域的专家获得知识空间.Koppen等[23]也指出, 在特定领域中构建知识结构时, 不应依靠学习者本身有限的知识, 而应咨询该领域的专家.随后Koppen[24]通过向专家提出关于特定领域问题之间具体关系的一系列问题, 构建特定领域的知识空间.Kambouri等[25]给出专家问询过程的理论基础, 构建与专家回答一致的独特知识空间, 并描述专家问询程序的全面应用.Dowling[26]改进以前的专家问询程序, 通过省略那些可从以前的判断中推断的判断, 降低构建知识结构可能涉及的判断的数量.此外, Schrepp等[27]开发自适应程序, 通过专家查询构建知识空间, 由于在这些程序中, 专家会对一系列基本问题做出判断, 其中可能存在某位专家错误的判断, 即使这种情况发生几率很小, 也可能导致产生的知识空间具有较大的变化.之后Cosyn等[28]引入错误处理机制, 修改查询例程, 待定状态查询(Pending Status Query, PS-Query)设计成只对可靠的判断进行推断, 降低专家粗心错误的发生率, 构建更有效的知识结构.Stefanutti等[29]提出一种专家查询算法, 针对在已有知识空间上新问题的扩展, 可通过专家查询, 在扩展的领域上产生新的知识空间, 避免从头开始应用专家查询.

第二类是基于数据驱动的二分知识结构构建方法.从数据构建知识结构的现有方法来看, 它们都遵循大致相同的三步程序:1)构建一组关系/知识结构; 2)根据一组拟合准则测试这些构建模型; 3)选择最佳拟合模型作为潜在知识结构的最佳表示.与专家问询方法不同的是, 此类方法通过选择最佳拟合模型的拟合度量实现对知识结构的评估[30].它的基本假设是:数据背后有一个真实的知识结构, 观察的响应模式是由这个真实的知识结构通过幸运的猜测或粗心的错误产生的.该问题面临的挑战是真正的知识结构和这些随机响应模式的错误概率是未知的.

下面介绍通过数据构建知识结构的具体方法.数据驱动方法可分为2类.

1)将特定属性赋予数据底层的知识结构, 可推断数据集上未观察到的知识状态, 且它们主要基于问卷的布尔分析(Boolean Analysis)[31, 32]和项目树分析(Item Tree Analysis, ITA)[33]进行研究.Schrepp[34]认为布尔分析是双值问卷的探索性分析的一种有前途的技术.此类方法从数据中构造关于项目集的推测关系, 用于构建知识结构.Theuns[35, 36]通过共生数据的布尔分析构建知识空间.Schrepp[37]进一步完善ITA, 提出ITA* , 在构建知识结构时减少错误概率和潜在推测关系结构的影响.Sargin等[38]也改进ITA, 通过IITA(Inductive ITA)构建知识结构.

2)不施加任何限制, 仅将观察的响应模式作为构建结构的知识状态.Schrepp[39]直接构建知识结构, 使用观察的响应模式的频率确定最优容限水平, 再得出最优的知识结构, 并通过仿真模拟验证知识结构的可靠性.de Chiusole 等[40]提出k-states, 构建知识结构时, 既不对其施加限制, 也不假设只有观察到的模式才能作为知识状态.实际上, k-states是通过k-modes[41, 42]对知识结构提取的增量扩展得到的.

除了上述三类方法, 还有其它方法可以构建知识结构.一种潜在的方法是将知识结构视为一种特殊类型的潜在类别模型[50, 51, 52], 这种特殊的观点允许使用潜在类别分析(Latent Class Analysis, LCA)经验性地构建知识结构.在这种情况下, 可使用的其它潜在的方法是通过数据挖掘技术提取关联规则[53]或通过直觉检验获得未知的规律、关系[54, 55]以构建知识结构.作为对数据分析方法的补充, Ü nlü 等[56, 57, 58]详细讨论使用马赛克图、字形图、条形图或棘状图等交互式图形构建知识结构的方法.

1.1.2 多分知识结构的构建

多分知识结构是指考虑项目有多个响应值的知识结构, 虽然二分知识结构的研究已较普遍、成熟, 但其基本假设是对一个项目的回答只能是正确或不正确.随着研究的深入, 人们发现这不是绝对的, 若将KST应用于特定领域(如心理评估、态度和观点分析、验证部分信用项、响应时间研究等)[59], 仅考虑二分的知识结构是远远不够的, 因此人们希望将二分知识结构推广至多分情形, 解决更多更复杂的问题.

具体地, Schrepp[60]将KST推广到每个问题有超过两个响应值选择的情形, 其中响应值集合是线性序集, 建立具有某些封闭性质和推测关系的多层结构之间的本质联系.Bartl等[61]基于模糊逻辑中的完备剩余格研究具有分级知识状态的知识空间.Stefanutti等[62]在Schrepp[60]工作的基础上, 提出KST的多分推广, 即从响应值集合为线性序集推广到完备格.Heller[6]充分开发项目的多分类属性, 从而考虑粒度更细的优先关系, 在扩展的虚拟项目集上形成拟序.然后, 提出一个广义的多分拟序知识空间理论, 该理论将Schrepp[60]和Stefanutti等[62]的方法纳入其框架下, 此处对KST的多分推广主要关注多分问题, 即表现水平的多分化, 未关注能力水平的多分化.在此基础上, Stefanutti[63]基于多分技能映射研究知识空间理论的误解模型.

另外, 从多分KST的伽罗瓦连接角度出发, Wang等[64, 65]提出CD-Polytomous Knowledge Spaces, 对应于扩展的虚拟项目集上的优先关系, 解决文献[6]中命题8的伽罗瓦连接中闭元的不完全刻画问题.Ge[66]引入多分属性的完备性, 并通过多分知识结构是由完备多分属性导出的这一事实, 定义完备多分知识结构的概念.孙晓燕等[67]将程序性知识的评价结果用于构建项目状态空间, 进而构造多分知识结构.

此外, 结合模糊集的思想, Sun等[68]在分析不同技能重要性的基础上, 提出利用模糊技能构建多分知识结构的方法.不同于上述通过技能映射构建多分知识结构的方法, de Chiusole等[69]提出自适应的k-median聚类算法, 通过数据分析方法构建多分知识结构.

1.2 知识结构的良级性

在KST中, 满足学习的顺畅性以及学习的持续性这两种性质的知识结构称为良级性的知识结构.良级性本质上是度量渐进学习的一个概念, 反映个体从学习表层的基础知识逐渐深入到学习更高层次知识的过程是否科学合理, 为后续从知识空间角度对学习规律进行建模奠定基础.

实际上, 在知识空间理论中, 良级性一开始并未得到太多重视, 大多数早期的工作都集中在并封闭公理研究上.从教学的角度上看, 并封闭这种方法存在一些弱点.首先, 至少在先验假设上, 并封闭条件对教育工作者来说可能并不令人信服.例如:两位学习者擅长不同领域的问题, 由于两者的学习能力和熟悉的技能是完全不同的, 所以直接通过两者的互相学习使双方都擅长对方擅长的问题通常是不现实的.其次, 知识空间中评估产生的状态并未对教师或学生形成有用、自然、有效的表现形式.良级性的研究动机来自Falmagne等[9]建立的随机理论, 克服并封闭方法的一些不足.受此启发, Falmagne等[10]引入学习路径和良级性的概念, 弥补并封闭方法的缺陷.在良级条件下, 任何知识状态的有意义的表示都可用该状态的两个“ 边缘” 形式刻画.

在知识结构(Q, K)中, 对于任意状态K∈ K, 定义K的内边缘KI和外边缘KO:

KI={q∈ K|K\{q}∈ K}, KO={q∈ Q\K|K∪ {q}∈ K}.

外边缘为学生的最近发展区, 这是学生以现有的知识即将学习的问题; 内边缘表示被刚刚掌握的问题集, 这些问题的掌握是不牢固的, 有可能会被遗忘.Falmagne等[22]对这些基本思想进行全面、非技术性的描述.更多这方面的工作可参考Doignon等[14, 70, 71]和Falmagne[72, 73]的相关研究.

然而, 由此产生的分级良好的知识空间的概念, 虽然在数学上是恰当的, 但仍然缺乏直接的教育学依据.之后Falmagne等[5]提出两个公理, 标记为[L1]和[L2], 称为学习空间.这些公理当时尚未发表, 但传达给Cosyn和Ü zü n, 在此基础上, Cosyn等[74]介绍两个教学上较合理的公理.

公理1 学习的顺畅性 任意两个知识状态K∈ K, L∈ K, 如果K⊂L, 那么存在由K中知识状态构成的链

K=K0⊂K1⊂…⊂Kp=L,

使得对∀ 1≤ i≤ p, |Ki\Ki-1|=1成立.

公理2 学习的持续性 任意两个知识状态K∈ K, L∈ K, 如果K⊂L, q∈ Q是一个问题, 且满足

K+{q}∈ K,

那么

L∪ {q}∈ K,

其中K+{q}表示K∪ {q}且q∉K.

由教育学上的观点可知, 公理1表示:如果学习者的知识状态是K, 且K⊂L, 那么学习者可通过每次掌握L\K中一个问题, 逐渐达到知识状态L.公理2表示:懂得知识再多, 都不会妨碍新知识的学习.

另外Cosyn等[74]提出如下定理.

定理 对于任何知识结构(Q, K), 如下条件是等价的:

1)(Q, K)是一个学习空间,

2)(Q, K)是良级性的知识空间.

此定理表明知识结构是一个学习空间当且仅当它是一个良级性的知识空间.注意, 学习空间的概念可在文献[75]和文献[76]中找到, 它是与反拟阵[77, 78]或凸几何完全类似的结构.

1.3 知识结构的推测关系

推测关系是知识空间中的另一个重要概念, 用于描述和推断知识之间的关系, 可简单理解为:若凡是含有问题q的知识状态里, 都含有问题r, 即问题r是比问题q更基础的知识, 要掌握问题q必须先掌握问题r.研究推测关系可直观了解问题域中各元素之间的强弱性、顺序性等.下面从推测关系的概念、构建等方面展开介绍.

推测关系是由拟序定理发展而来的, 即论域Q上所有拟序与Q上所有拟序空间一一对应, 这种对应关系可由如下2个等价公式表示:

rYq⇔ (∀ K∈ K:q∈ K⇒ r∈ K), K∈ K⇔ (∀ (r, q)∈ Y:q∈ K⇒ r∈ K),

设(Q, K)为一个知识结构, Q上的一个二元关系定义为

r≲q⇔ r∈ ∩ Kq,

则关系≲称为(Q, K)上的推测关系或前继关系.另外当r≲q时可理解为r可以由q推测得到, 或r先于q, 即如果个体能解答q可推出个体也能解答r, 或如果个体不能解答r, 那么也可推测个体不能解答q.

使用推测关系表示知识结构通常是一个过于严格的模型, 其原因是这种表示通常不能处理包含有多种方法解决同一问题的情况.例如, 问题x有两种解决方法:1)掌握问题a的正确答案; 2)掌握问题b和问题c的正确答案.如果学习者正确解决问题x, 无法推测该学习者是否掌握问题a的正确答案, 因为他可能是通过方法2)正确解决问题x.

推测系统的形式化定义如下.设Q为非空问题集, 如果一个从Q到 22Q的映射σ 满足如下条件:

1)对∀ C∈ σ (q), 有q∈ C,

2)若q'∈ C∈ σ (q), 则存在C'∈ σ (q'), 使得C'⊆C,

3)若C∈ σ (q), C'∈ σ (q)且C'⊆C, 则C=C',

称(Q, σ )为Q上的一个推测系统.

如何有效构建问题之间的推测关系, 对评估学习者的知识水平和构建后期的学习路径具有重要的辅助作用.一种可行的方法是从数据分析的角度研究推测关系.van Leeuwe[33]提出项目树分析方法, 从数据中构造项目集的推测关系.Schrepp[37]提出ITA* , 在非线性推测关系上的性能优于线性推测关系.通过实际应用, ITA* 分析字母序列完成问题的一组响应模式, 得出反映问题难度的推测关系.Schrepp等[98]通过排序原则描述一种构造推测关系的方法, 并将这些原则应用于国际象棋问题集的推测关系的构造.在知识空间理论中, 从数据中构建推测关系的方法多种多样, 但少有人对这些方法进行系统全面的归纳分析.Sargin等[38]总结已有的从数据中构建推测关系方法的优缺点, 并给出一些改进和完善的思路.

另一种研究视角是从技能的角度讨论推测关系.陈惠琴等[99]基于知识状态的关系讨论良好技能背景, 并基于技能背景提出技能推测关系, 同时给出求解技能推测关系的方法.结合多分知识空间, Wang等[65]提出CD-Polytomous Knowledge Spaces and Corresponding Polytomous Surmise Systems, 在多分知识结构的集合和特定多分属性函数的集合之间建立伽罗瓦连接, 进一步给出弱阶乘多分推测函数对应的多分知识结构的特征.Ge[100]推广多分推测函数的概念, 证明粒度多分空间和多分推测函数存在一一对应关系.

推测关系的建立涉及一系列的认知过程, 如推理、联想、归纳等.这些认知过程对于学习者评估自身的知识水平和解决问题的能力至关重要, 也直接影响学习者在测试中的表现, 因此了解学习者在测试中采用的认知策略, 有助于深入理解他们的推测关系构建过程.学者们研究测试之间的推测关系以及性质.Brandt等[101, 102]将测试的前提关系项扩展到测试之间的前提关系, 这种先决条件关系就是测试之间的推测关系.之后将测试内项目间的推测关系推广至测试间的推测关系, 并研究3种不同类型的试验间推测关系的性质.Ü nlü 等[103]将测试推测关系和测试知识结构的概念分别推广到知识空间理论中的推测关系和知识结构的概念, 研究划分知识结构域的测试集上的自然覆盖、左覆盖、右覆盖和全覆盖测试推测关系, 并讨论自反性、传递性和反对称性.

1.4 基于能力的知识空间理论

在知识空间理论中, 能力的引入经历如下发展阶段.KST 开发的第一阶段并未考虑对项目解决方案中隐含的能力或认知过程的研究.在早期的研究中, 学者对数学概念的认知解释仅限于使用“ 知识状态” 、“ 学习路径” 等词.鉴于KST的诸多结果可适用于广泛的不同领域, 研究者们逐渐认识到, KST的基本概念与心理测量学理论的传统解释特征是一致的, 如“ 技能” 或“ 潜在特质” [106, 107, 108, 109].Marshall[110]提出知识是用技能解释的:学生掌握解决问题所需的技能, 技能和问题之间的联系可通过某种方式进行形式化.假设存在一些基本的技能组成的集合S, 这些技能可能包括原则上可识别的方法、算法或技巧.这个想法是将领域中的每个问题q与S中对解决该问题有用或有帮助的技能关联.因此, 从20世纪90年代初开始, 对解决项目所需的技能与观察的个人回答行为之间的联系的研究促成基于能力的知识空间理论的兴起.在此基础上, 得到绩效水平的能力状态和知识状态之间的区别:能力状态是个体掌握的技能子集, 而知识状态是可观察的表现水平[111, 112].

值得注意的是, 知识状态与能力状态并不是一一对应, 已知学习者的知识状态, 并不能直接反应其能力状态.对此, Heller等[114]基于技能映射的合取模型, 讨论知识状态与能力状态满足一一对应的条件.由于在析取模型和合取模型这两种模式之间, 缺乏对满足最低要求的不同数量技能的详细分类, 因此Xu等[115]基于模糊技能映射, 提出模糊技能包含度的概念以弥补上述缺陷.基于能力模型, 孙文[116]研究模糊技能多映射在能力模型下生成的知识结构的特征.Anselmi等[117, 118]基于能力模型, 提出技能评估测试的方法.随后, Xie等[119]基于能力模型, 提出一种概念认知学习模型.

另外, 在技能映射模型中, 可能还存在冗余的技能, 删除这些技能不会改变知识结构.为此, Xu等[120]结合粗糙集属性约简方法, 寻找最小技能集.高纯等[121]也给出一种最小技能集的生成方法.Liu[122]研究最小技能映射, 并使用覆盖约简技术确定最小技能映射.Sun等[49, 68]通过模糊技能映射研究极小技能集的相关问题.

技能映射通过析取模型和合取模型诱导知识结构的条件过于宽松或苛刻, 不同技能子集在同一模型下可能诱导相同知识状态.因此, 杨桃丽等[123]建立两种变精度模型, 讨论诱导良级知识结构时技能映射需要满足的条件, 并给出获取极小技能集的算法.

技能函数可为一个项目分配多个能力, 表示可能存在多个认知操作集合解决同一问题的事实.Dü ntsch等[15]提出技能函数的概念, 描述一种使用偏序覆盖以确定技能函数的过程.Gediga等[124]将技能分配理论应用于知识空间理论框架内, 提出一个基于技能函数的测试理论:技能-问题关系数据一致性的度量.另外, Heller等[125]引入分布式技能函数的概念和知识结构的网格化, 提出特殊技能评估的充要条件, 用于形式化表示对问题的技能分配的几个技能函数的集成.Heller等[105, 126]指出技能函数具有两种特殊情形, 即析取技能函数和合取技能函数.在此基础上, He等[127]讨论基于能力的析取技能函数和合取技能函数的一些理论结果, 设计算法并获得最小技能集.Stefanutti等[128]和周银凤等[48]针对技能函数和技能评估的问题, 研究个体能力水平与表现水平之间的关系, 并给出一一对应的条件.

当某些问题的回答需要多种技能时, 确切的说是多种技能的组合, 那么仅依靠简单的技能映射不足以解决这些问题, 需要考虑多种技能之间的组合.Korossy[104, 129, 130]继Chomsky[131]之后, 提出基于技能的知识空间理论的扩展, 称为能力-绩效方法.Korossy区分两个不同的层次, 绩效水平是指可观察的行为, 由有限的知识域Q以及其上的知识结构表征; 能力水平是指掌握认知能力的理论实体, 认知能力可解释可观察的行为.Kickmeier-Rust等[132]讨论能力-绩效模型的优点, 可准确确定学习者的能力状态, 结合能力之间的相互依赖关系对个人的学习路径进行建模.由于能力和绩效状态之间缺乏一对一的对应关系, 在能力水平上引起的变化可能无法通过绩效水平的变化表示, 导致无法确定学习是否已经发生.Stefanutti等[128]提出使个人通过一次学习一项技能的方法, 沿着绩效结构取得切实的进步, 直至最终达到完全掌握.

总之, 对于技能映射、技能函数以及能力-绩效方法的研究可更精细地描述学生的技能水平和学科掌握情况, 这些新颖的概念为个性化学习、教学干预和教育决策提供更丰富的信息和分析工具.

1.5 知识空间理论的推广

随着多学科交叉融合研究的盛行, 将KST与其它理论耦合, 成为一个热门的研究课题.

1.5.1 概率知识结构

知识结构包含的信息是确定的, 不能提供受试者对测试问题的反应的现实预测, 因为现实中人们对测试问题的反应具有不确定性.通常, 概率可以以两种方式进入现实模型.首先, 知识状态往往会以不同的频率出现在参考群体中.因此, 假定状态集合上存在一个概率分布是合理的.另一方面, 一个主体的知识状态并不一定指定观察的反应, 如一个已掌握一个项目的受试者可能会在反应时粗心并犯错.此外, 在某些情况下, 受试者还可能猜出对尚未掌握的问题的正确答案.因此, 在给定状态的情况下, 引入响应的条件概率是有意义的[133].粗心的错误和幸运的猜测及其概率的概念由Falmagne等[9, 10]引入知识空间理论中, 并将概率知识结构定义为三元组(Q, K, PK), 其中PK为知识状态集族K上的概率分布.可通过如下方式获得响应模式R∈ R的概率:

$ P(R)=\sum_{K \in \mathscr{K}} P(R \mid K) P_{\mathscr{K}}(K), $

其中PK(K)为分布PK中状态K的概率,

$ \begin{aligned} P(R \mid K)= & \left(\prod_{q \in K \backslash R} \beta_{q}\right)\left(\prod_{q \in K \cap R}\left(1-\beta_{q}\right)\right) \cdot \\ & \left(\prod_{q \in R \backslash K} \eta_{q}\right)\left(\prod_{q \in Q \backslash(K \cup R)}\left(1-\eta_{q}\right)\right), \end{aligned}$

β q表示项目q的粗心错误概率, η q表示项目q的幸运猜测的概率.

这些参数和知识状态的概率可通过期望最大化算法[134]或最小差异[135]进行最大似然估计, 这为基于绩效的知识空间理论建立一个更现实和实用的模型[136, 137].此外, 在基于能力-绩效的情况下, 预测绩效和观察绩效之间的差异需要以概率的方式解释.一个学生可能会给出错误的答案, 尽管他掌握正确回答的所有必要技能, 反之亦然[138].

在使用技能方法的情况下, 正确的答案往往需要一套技能实现, 而非单个技能.为了创建一个概率技能和能力模型, 还需考虑到由Korossy[129, 130]提出的一套技能的先决条件结构.这表明研究者的兴趣从一个行为、可观察的层次转向一个潜在、认知的层次.KST对这两个层次之间的关系进行深入研究, 得到各种确定性和概率性的认知诊断模型.

NIDA(Noisy Inputs, Deterministic “ And” Gate)和DINA(Deterministic Inputs, Noisy “ And” )[139]都是基于Q矩阵的合取模型, 也可看作是结合技能映射的概率模型[140].Falmagne[141]提出知识结构的有限马尔可夫学习模型, 解释知识结构的各种状态之间随着时间的推移从结构的空间状态到全域的转变.Fries[142]给出这些模型的一些实证检验.更多的有关马尔可夫链理论的介绍参见文献[143]和文献[144].

之后, Heller等[105]提出一种隐马尔可夫模型, 通过状态之间转换的概率预测跨学习对象和底层学习过程的可观察的辅导学习行为, 以及它们的相互依赖性.Robusto等[145]和Stefanutti等[146]提出增益-损失模型, 这是一种概率模型, 用于评估学习过程和学习对象在促进获得新技能和维持新技能方面的有效性.增益-损失模型适用于具有两个测试场合的学习过程, 即预测试和后测试.Corbett等[147]提出贝叶斯知识追踪, 将学生的知识建模为隐马尔可夫模型中的潜在变量, 学生掌握特定技能的概率会根据其对需要解决这些技能的项目的反应的正确性而不断更新[148].上述模型的应用可参见文献[149]和文献[150].

此外, 潜在类别分析[151, 152, 153]是一种检验未观察到的范畴变量的统计方法.经典的无限制潜在类别模型是多项式概率模型, 关于LCM的详细描述参见文献[154].对LCM的参数施加(如相等或固定值)限制, 给出受限的LCM.这种受限的LCM在KST中称为基本局部独立模型(Basic Local Independence Model, BLIM)[11].Schrepp[155]和Ü nlü [52]讨论将BLIM解释为受限LCM的问题, 是一种“ 去线性化” [151]潜在距离模型.

由于通过广义似然比检验对比具有不同数量潜在类别的 LCM 是无效的, 因此经常使用赤池信息准则(Akaike Information Criterion, AIC)或贝叶斯信息准则(Bayesian Information Criterion, BIC)作为选择最优模型的标准.这种统计推断方法特别适用于 KST 概率模型, 因为它们是特殊的潜在类别模型[152, 156, 157].因此, KST 和 LCA 在两种理论中使用的推断统计理论水平上也是相关的.有关此类模型的推断统计的更多信息请参见文献[56].

Schrepp[155]提出一种从数据构建知识结构的探索性方法, 即构建候选知识结构, 将它们视为受限潜在类别模型并拟合数据, 然后使用 BIC 准则在其中进行选择.与 Schrepp[155]类似, Stefanutti 等[134]讨论BLIM的一种特殊情况, 其中响应错误率受到约束, 目的是恢复概率知识结构.Ü nlü [52]研究在KST中估计二分测验项目反应错误率的具有随机效应的潜在类别模型.Stefanutti等[158]提出知识空间理论多分推广的概率框架, 即多分局部独立模型.

1.5.2 基于粒计算的知识空间

下面分别介绍知识空间与形式概念分析、粗糙集和模糊集的交叉研究.

Rusch等[19]早在1996年就注意到KST和FCA之间可能存在诸多联系, 考虑Koppen等[23]引入的某些属性蕴涵集和内涵之间的对应关系.他们的研究表明, 形式背景的概念内涵在交运算下是封闭的, 概念内涵的补集在并运算下也是封闭的.因此, 形式背景的概念内涵的补集可被视为知识空间.实际上, KST和FCA之间具有更深的联系.Spoto等[43]提出组合KST与FCA, 开发问卷项目与一组心理诊断标准之间关系的形式化表示.Ganter等[159]使用形式概念分析的术语描述知识空间理论, 除了对两种理论之间的数学重叠和差异的理论见解之外, 这种“ 翻译” 的主要优点是它可促进应用的进一步发展.李进金等[160]通过知识基建立知识空间和形式背景的联系.Ojeda-Herná ndez等[161]基于FCA与KST之间的联系, 在实践层面上, 分析数学课程的分数, 建立课程的知识结构.周银凤等[47, 48]运用形式概念分析的方法寻找学习路径并进行技能评估.陈惠琴等[99]通过面向对象概念格和面向属性概念格, 研究学习空间的判别方法与技能评估.林宇静等[162]运用形式概念分析构建多分知识结构并寻找学习路径.冯丹露等[163]基于形式背景研究KST中技能层约简与前级(后级)知识结构的充要条件.王大利等[164]在知识点网络下运用形式概念分析方法讨论如何对学习者进行知识评估和学习路径选择.于亚琪等[165]研究面向属性概念约简方法及其在知识空间理论中的应用.

不仅如此, 受到粗糙集理论(Rough Set Theory, RST)[166]的启发, Yao等[167]和王国胤等[168]利用粗糙集中的近似思想构建知识结构, 在同一框架下研究RST和KST.Liu[122]利用粗糙集方法讨论由析取模型和合取模型诱导的技能映射的知识结构, 并给出满足技能多映射诱导的知识结构是交封闭的条件.高纯等[121]和杨桃丽等[123]借助粗糙集属性约简的思想, 研究获取最小技能集的方法.

另外, 将模糊集用于知识空间的不确定信息描述也受到一些学者的关注.实际上, 不同个体对不同技能的掌握程度有时不能简单通过0或1进行描述.例如:问题a为1.32+4.23=?, 问题b为1+4=?, 显然解决问题a与解决问题b对加法运算所需的熟练程度是不一样的, 即问题a对于加法运算的掌握要求更高, 此时可引入模糊集对技能熟练程度进行刻画.受此启发, Sun等[49, 68]提出模糊技能映射和模糊技能多映射与极小模糊技能映射的概念, 通过模糊技能函数把多分问题与模糊技能建立联系, 考虑从模糊技能构造多分知识结构的问题.智慧来等[169]结合模糊形式概念分析, 建立面向知识结构分析的模糊概念格模型.Xu等[115, 170]结合模糊集的思想, 提出模糊技能包含度的概念, 在此基础上提出基于能力的基本局部独立模型, 并讨论其不可辨识性.

1.6 知识空间理论的应用

知识空间理论是一种有效的研究教育的数学理论, 不仅对教育评估和个性化学习具有深远的影响, 还在计算机自适应教育、认知诊断等领域表现出广泛的应用.本节主要介绍知识空间理论在辅助学习和自适应测试中的典型应用.

1.6.1 知识空间理论在辅助学习中的应用

知识空间理论在辅助学习领域的应用是其最重要的应用之一.通过分析学生的知识结构, 教育者可以更准确地了解学生的知识水平和能力水平.研究表明[5], 知识空间理论可用来发展基于认知结构的评估工具, 这些工具可帮助教育者更好地了解学生的认知结构及学习过程, 从而制定更有效的教学计划和教学内容.另外, 个性化辅助学习体现在通过分析学生的知识结构和学习路径, 教育者可为每个学生提供定制化的学习体验.KST可用来开发个性化辅助学习系统, 从而根据学生的知识需求和学习进展, 及时调整教材和教学方法[171, 172].

智能辅导系统(Intelligent Tutoring System, ITS)[173]是将AI(Artificial Intelligence)技术与教育方法结合的教学系统, 注重于提供更全面的教学.常见的基于KST研发的ITS有ALEKS(Assessment and Learning in Knowledge Spaces)[5]、RATH(Rela-tional Adaptive Tutoring Hypertext)[174]、APeLS(Adap-tive Personalized eLearning Service)[175]和Stat-Knowlab(Statistics Knowlab)[176].ALEKS和RATH是在传统KST下开发的, 侧重于展示学习者在解决问题或完成任务时的行为和策略; APeLS和Stat-Knowlab是在基于能力的KST下开发的[105, 124, 129].

ALEKS是一个基于互联网的自动化系统, 可自动评估数学、经济学、统计学和化学等方面的知识.在美国国家科学基金会(National Science Founda-tion, United States)的资助下, ALEKS于1994年创建, 目前是美国使用最广泛的ITS之一, 并且已发现它与传统课堂教学效果相当[177].RATH和APeLS提供文档链接支持学习者的辅导学习, 这些链接仅包含需要学习者理解的知识, 确保学习者按照正确的顺序逐步理解相关概念和内容.另外, RATH和APeLS之间的区别在于APeLS区分实际文档和抽象技能, 在更改文档方面具有更大的灵活性.此外, RATH已应用于初等概率论教学中.

Stat-Knowlab由University of Padua开发, 由评估模块和学习模块组成.评估模块自动评估学习者已掌握的技能(能力状态), 并根据需要向其提供详细的学习报告.学习模块指导学习者根据其知识定制相应的学习过程.在这两个模块中, 学习者都可看到自动生成的项目实例[178], 并且这两个模块在不断交换有关学习者当前能力状态的信息中相互作用.University of Padua在基础统计课程中使用Stat-Knowlab学习基础统计学的相关知识, 发现它可用于监控学习者的学习过程[176].

从KST发展的角度来看, 在化学中建立一个辅助学习服务, 可进一步阐明构建这种服务的普适性挑战.虽然化学与数学密切相关, 但它们具有显著差异[180, 181].Taagepera等[182, 183]将定量的知识空间理论应用于具体的科学概念, 评估其作为科学学习辅助方法的可行性, 并运用知识空间理论构建学生学习有机化学的思维模式.Arasasingham等[184]应用KST分析学生的反应及其反应的连通性.

化学计量学是化学教学中知识技能研究最广泛的课题之一.已有的研究包括:解决化学计量问题时的学习途径[184], 评估学生对化学计量的理解[21, 185], 对比使用不同策略解决化学计量问题的学生的知识空间[186], 并确定学生认知结构的质量, 即检查它是否由相互关联或分散的化学概念组成[187].Segedinac等[188]应用KST识别专家期望学生拥有的知识结构与学生在测试中展示的真实知识结构之间的差异, 并应用于化学计量学领域.

值得一提的是, KST框架允许研究人员识别学生的关键学习路径[189], 并与专家的关键学习路径进行对比[190].Albert等[191]描述一个超文本结构的形式化模型, 形成一个智能教学系统的框架, 为学生提供个性化的学习路径.何庆辉等[192]、麦裕华等[193]及陈文梅等[194]应用KST提出学生在学习离子反应时可能的关键学习路径以及分析学生的氧化还原反应学习情况.陈东晓等[195]以大一学生的学习成绩和平时测验为基础, 通过关键学习路径的描述研究微积分预前知识学习对微积分考试成绩的影响.

1.6.2 知识空间理论在自适应测试中的应用

在自适应测试中, 知识空间理论主要分析学生在知识结构中的位置, 构建认知诊断模型, 调整测试题目的难度等, 实现自适应测试、智能评估和大数据分析.这通常包括算法设计、测试题目优化、测试系统的开发等, 因此, 知识空间理论也被认为是一种教育测量理论.

学者研究KST在自适应测试中的应用.孙波等[196]提出一种扩展知识空间理论, 并讨论该理论如何在测评系统中运用.在现有领域知识结构的研究中, 由于表达知识的手段较单一, 周弦等[197]根据实际情况对知识空间理论进行相应的改进, 构建基于双层知识空间的领域知识结构模型, 在此基础上提出符合学生个性特点的自适应教学过程和学生当前知识状态的评测策略.周弦等[198]基于知识空间理论, 提出一种快速自适应测试过程.

在智能教学系统中, 知识空间理论提供一种描述知识结构的方法, 常用于对学生学习状态进行诊断.Chatzopoulou等[199]开发一个基于Web的自适应测试系统— — 编程自适应测试系统, 以适应编程环境中的应用程序开发课程的需要.Gathitu[200]基于KST等理论, 开发一个自适应的测试系统, 使学生的能力在测试时可逐步被确定.为了找到一种既能缩短测试时间又能准确诊断学生知识状态的自适应测试算法, Wu等[201]开发并评估基于排序理论的知识结构自适应测试系统.谈成群等[4]利用超文本结构和知识空间结构相似的特性, 使知识空间理论建立在知识点上, 给出基于自动机的自适应测评算法.刘艳花等[2]给出技能自适应测试的详细过程, 实现对受测者技能水平的测试.李爽[202]在设计课程知识与试题结构的基础上, 将知识空间理论引入认知测评的过程.Sitthisak等[203, 204]基于能力模型和QTI(Question and Test Interoperability), 开发自适应测试系统, 克服适应性、互操作性等方面的一些局限性.其勒格尔[205]研究基于知识空间理论的学习诊断模型在课程教学中的适应性测试.赵建康[206]和赵宇航[207]开发自适应测试系统及自动阅卷技术.

另外, 受测者在测试过程中存在猜测和失误的可能, 然而早期的诊断模型并未考虑这两个因素, 因此无法在这种情况下对受测者的知识状态进行有效诊断.为此, 孙贝等[208]基于带猜测概率和失误概率的知识空间理论, 提出一种学习诊断模型, 当受测者出现猜测或失误时, 仍可对受测者的知识状态进行有效诊断.Rong等[209]结合KST, 提出一种基于信息熵的终止规则, 使自适应测试在效率和准确性之间找到某种平衡.de Chiusole等[210]提出基于KST的面向神经心理学适应性测试的人工智能系统.

总之, 以知识空间理论为指导的自适应测试一般包含如下歩骤.首先, 由教师或领域专家根据测试的目的精心组建合适的试题集合, 并对待测领域学科进行知识点划分、确定知识点之间的关系.然后, 建立知识结构, 根据知识点间的关系删除不合理的知识点.最后, 测试并确定测试初始和终止条件, 根据受测者的作答情况按照一定的策略进行选题, 最终使受测者的知识结构收敛到一个固定的知识状态, 并给出相应的评价报告.

2 知识空间理论研究中存在的问题

本节仍按照知识结构的构建、知识结构的良级性、知识结构的推测关系、基于能力的知识空间理论、知识空间理论的推广及应用的顺序, 依次讨论知识空间理论研究中存在的一些关键问题.

2.1 知识结构的构建

经过近四十年的发展, 虽然学者们提出诸多构建知识结构的方法, 但仍存在一些关键性的科学问题需要解决, 特别是知识结构从二分推广到多分情形后, 知识结构的构建方法仍有较大的提升空间.

1)专家问询的主观性.专家问询是知识结构的构建方法之一, 此方法极大依赖领域专家的知识和经验, 他们的主观判断会对知识结构的构建产生较大影响.这可能导致知识结构在一定程度上受限于专家的认识局限性, 无法全面客观反映领域知识.另外, 在专家问询过程中, 不同的专家很可能会提出不同的观点, 缺乏一致性检验和科学的评判标准会使知识结构在构建过程中变得极不稳定.

2)技能映射的复杂性.技能映射方法旨在关联知识结构与学习者的技能或绩效.然而技能与知识之间的关系往往是复杂的, 不容易准确映射和量化.尤其在不确定环境下, 如何准确衡量技能与知识之间的关系仍是一个具有挑战性的问题.

3)有效样例获取的困难性.数据驱动方法依赖大量的学习数据以构建知识结构模型.然而, 获取大规模、高质量的学习数据以及如何有效分析和建模都是非常困难的.另外, 收集到的数据的可适用性也是一个值得考虑的问题.

4)知识结构的动态性.知识结构通常是基于静态数据进行建模得到的.然而知识域通常是动态变化的, 知识结构会随着时间推移和经验积累而变化, 因此需要不断对其进行更新和调整.如何处理知识结构的动态性, 以及学习者在知识空间中的演化过程, 是需要进一步探究的问题.

5)多分知识结构的构建效率.多分知识结构使知识空间理论应用更广泛, 其研究已成为该领域的热点问题.然而, 现有的研究针对具体数据仅采用技能映射构建多分知识结构, 这是远远不够的.例如:面对大规模数据采用技能映射方法构建多分知识结构, 不仅效率低下, 并且无法保证多分知识结构的构建质量.因此如何结合数据分析和技能映射构建多分知识结构, 提升知识结构的构建效率, 同时降低Minimal Symmetric Distance[39], 是有意义的研究课题.

2.2 知识结构的良级性

1.2节介绍知识结构的良级性的研究状况, 尽管良级性的研究已取得较丰富的成果, 但仍存在一些关键问题需要深入探讨.

首先, 满足良级性的知识空间是学习空间, 需要进一步考虑学习空间在实践中的应用效果.由于学习空间在不同学科和领域中的应用存在差异, 那么对比其在不同类型、不同应用场景下的有效性是有意义的.其次, 在实际学习过程中, 该问题还涉及学习成本、学习效率以及记忆遗忘等因素对学习效果的影响, 因此良级性需要考虑学习者在学习的不同时刻对知识掌握程度的变化情况, 建立良级性的知识结构与学习成本等众多因素的联系, 提出更合理、复杂的学习模型以反映学习者的学习效果.不仅如此, 由于不同的学习者对知识的掌握程度以及学习习惯都有差异, 有必要将个性化认知融入学习模型中进行研究, 即引入个性化认知会使良级性的知识结构更具吸引力.此外, 目前良级性的研究大都基于二分知识结构, 但是随着KST的应用越来越广泛, 将良级性推广到多分知识结构势在必行, 这也是深入研究多分知识结构的必然之举.

综上所述, 知识空间理论关于知识结构的良级性的研究仍存在一些问题, 需要进一步研究, 包括考虑学习成本等复杂因素、个性化认知学习的意义以及知识结构的良级性在多分情形下的有效扩展等.

2.3 知识结构的推测关系

关于推测关系的研究, 也存在一些问题需要进一步探究, 以下是一些可能的研究问题.

If-Then规则是知识推理表示的主要形式, 在众多领域中都对其展开深入研究.不同领域对其称呼不尽相同, 在知识空间理论中, 将其理解为推测关系.考虑一组问题之间的隐式依赖关系, 可从先前获得的响应中推测项目子集的正确或错误解决方案.其好处是减少向受试者提问的数量, 但是问题间不同的推测关系能减少的提问数量是不同的, 并且不同领域需要的推测关系也不同, 因此进一步评价推测关系的优劣是有意义的.为此, 可以借鉴FCA中众多推理规则的思想, 如α 推理规则[211]、合并推理规则[212]等, 研究KST中问题间实用的推测关系, 提高推测关系的准确性、适用性和合理性.

另外, 测试间的推测关系本质上是问题间的推测关系的扩展, 使推测关系可适用更广泛的领域, 但推测关系的建立需要基于先前的知识和经验, 这给通过测试间的推测关系构建知识空间带来挑战.在这种情况下, 推测关系会受数据的特征、质量和可靠性等众多因素的影响, 进而导致推测性能无法保证, 增加推测的不确定性, 因此测试间的推测关系能否准确推测受试者的正确或错误解决方案的行为是值得研究的课题.

另外, 对于问题间以及测试间的推测关系的研究, 仍需考虑学习者的个性化因素.由于不同学习者的认知学习习惯不同, 对于知识结构中不同知识点的推测存在差异, 需要结合个性化差异以及个性化认知研究知识结构中的推测关系, 构建符合个性化需求的推测关系.

2.4 基于能力的知识空间理论

下面从技能映射和技能函数两个角度讨论基于能力的知识空间理论研究方向可能存在的关键科学问题.

基于能力的知识空间理论通过学习者具有的技能和能力解释学习者的知识状态.当考虑技能和问题的关系时, 存在一个问题对应多个能力的情况, 使问题与技能之间的关系变得更复杂.因此, 基于技能多映射研究知识空间是有意义的.另一方面, 技能映射用于评估学习者在某一时刻对技能的掌握程度, 但是当表示问题的技能过多时可能会导致技能冗余, 使评估程序变得不准确, 尤其是在发生幸运的猜对或粗心的错误的情况下.虽然一些学者针对冗余问题提出基于模糊技能映射寻找最小技能集的算法, 但大都无法避开构建知识结构这一过程, 这大幅增加计算量, 因此在面对大规模数据时, 有待研究这些算法的高效性.

在基于能力的知识空间理论中, 技能函数或模糊技能函数是根据问题与技能之间的关系由有经验的专家或教师给出.在同一问题域上, 不同专家或教师可能会提出不同的观点, 缺乏一致性的标准会导致生成不同的知识结构, 影响对学习者的知识评价与后续的学习指导, 因此如何准确构造技能函数以及模糊技能函数是值得深入研究的问题.本质上, 技能函数或模糊技能函数是表征问题和技能之间的关系的工具, 这种关系是客观存在的, 但是技能函数的确定采用专家或教师的主观判断, 因此需要考虑如何降低构造技能函数的主观性, 增强它的客观性.另外, 20世纪70年代提出问题空间[63, 213], 通常在数学上定义为有向图, 顶点是所谓的“ 问题状态” , 有向边是将某些问题状态转为其它问题状态所需的“ 规则” 或“ 操作” .因此在知识空间理论中继续引入问题空间的概念构造新颖的技能函数或模糊技能函数是有意义的.

截至目前, 有关问题空间与知识空间理论结合的研究较少, 未来可考虑从问题空间的角度构造技能函数以及模糊技能函数.

2.5 知识空间理论的推广

知识空间理论的推广是知识空间研究与发展不可或缺的一环.在1.5节中分析知识空间理论与概率模型以及粒计算等方向结合的研究状况.关于知识空间理论的推广仍存在一些有待研究的问题.

在知识结构的概率模型中, 现有方法均假设学习者只能沿着学习路径前进, 即技能一旦学会就不会丢失, 这样的假设并不合理.根据Ebbinghaus[214]的遗忘规律, 在学习结果未得到巩固之前, 且考虑学习时间间隔较长时, 或者旧的技能被新的高级技能取代时, 旧技能有一定的概率会丢失.因此, 在概率模型中进一步考虑学习技能的丢失问题是有必要的.未来研究的另一个有趣而重要的方向是基于随机过程的模型.例如:基于随机学习路径系统的动态KST概率模型, 尚未对比潜在变量建模的统计方法, 可考虑研究基于隐马尔可夫模型的动态KST概率模型, 并与潜在变量建模方法进行对比.

在基于FCA的知识空间中, 仍有许多问题待研究.例如:以往的研究侧重静态数据, 这不符合实际情况, 因此在面向对象概念与面向属性概念的基础上, 继续研究知识结构的动态更新是一个重要课题.另外, 个性化学习的研究越来越流行, 而现有研究较少体现个性化, 因此结合形式概念分析及概念认知学习思想, 探讨技能评估与学习路径的选择等问题, 提高对学习者认知水平分析的准确度和高效性, 这方面有待深入研究.

在基于粗糙集的知识空间理论中, 现有的研究方法大都针对技能约简寻找最小技能集, 但是实际上问题之间也可能存在冗余情况, 因此通过粗糙集的思想对相似或相近的问题进行约简, 删除冗余问题, 降低构建知识结构的计算量, 也是一个有意义的课题.另外, 对技能集或问题集进行约简可能较耗时, 需要进一步研究高效的约简算法.

经典的知识结构下只使用0和1描述个体对于问题的掌握情况, 虽然现有研究已结合模糊集的思想, 使个体对问题的掌握程度可以有多个响应值, 但是这些响应值都是人为给定的, 缺乏说服力.因此如何科学合理地计算或确定这些响应值仍是一个富有挑战性的问题.

另外, 技能和问题之间的模糊值描述如何客观获得也是一个重要的问题, 尽管专家问询和问卷调查提供获取模糊数据的方法, 但是其合理性和有效性如何验证仍有待研究.

KST除了结合概率模型以及粒计算等模型之外, 还可与复杂网络模型结合, 提高可视化能力.例如:利用复杂网络的结构特征, 将知识状态与网络的节点信息联系, 通过网络模型可视化知识状态的迁移过程, 并结合最短路径算法研究KST中的最优学习路径, 这些都是有意义的课题, 所得结果既能帮助学习者优化学习进程, 提高学习效率, 也有助于学习者深入理解知识的组织与学习规律.

2.6 知识空间理论的应用

目前, 教育更强调教学内容、教学形式及学生学习的个性化, 以学生为主体、注重个性化发展是当前信息化教育教学工作的建设方针之一.个性化学习是智慧教育发展的趋势, 也是知识空间理论发展与应用的重点研究方向, 尤其是知识教育教学、认知诊断模型、自适应辅助学习与测试等.下面分析该领域有待解决的问题.

在辅助学习的应用中, 目前的研究仅静态反映学生在复习课程期间的知识结构及其内在关系, 并未充分反映学生在教师进行补救教学后的学习过程中动态的知识结构的变化过程, 未来可研究在教学中依据动态知识结构跟踪学生的概念理解的发展过程并检验教师补救策略的效果.

另外, 在应用中应着重体现个性化的观念.学习路径生成的影响因素有很多, 如个人兴趣、性别差异、题目难易等, 如何准确刻画和利用这些差异仍是一个挑战性的问题.不仅如此, 在实际的学科领域学习中, 学生可能涉及多个学科领域, 而传统的知识空间理论通常是基于特定学科的, 如何进行跨学科知识的整合, 提供更全面的学科知识结构分析, 也是一个值得思考的问题.

在自适应测试的应用中, 计算机自适应测试需要强大的技术支撑, 包括先进的算法、大规模数据处理与分析技术等.

此外, 设计合适的不同知识层次的测试题目同样也是一项挑战, 如何确保自适应测试既具有挑战性又不脱离客观情况, 能更准确地评估学生的知识水平, 是另一个需要考虑的问题.最后, 在自适应测试中知识空间理论的实证验证至关重要, 因此需要更多的关于KST在实际测试中的有效性实证研究.

3 结束语

近四十年来, 知识空间理论的研究取得一系列成果, 主要集中在知识结构的构建、知识结构的良级性、知识结构的推测关系、基于能力的知识空间理论、知识空间理论的推广及应用等研究方向.本文简要梳理并总结知识空间理论的部分研究工作, 展望主要研究方向以及今后发展可能会遇到的若干关键科学问题, 并提出一些初步的设想或研究思路, 供从事相关领域研究或有意解决这些问题的学者们参考.近年来, 知识空间理论的发展与应用较快, 特别是将二分知识结构推广到多分知识结构之后, 知识空间的应用场景更广阔, 而且在多分知识结构的基础上讨论知识结构构建、良级性分析、推测关系研究以及模型推广与应用等问题更具实际意义.实际上, KST自提出以来, 就面向教育发展领域, 但其在中高等教育中针对教师教学的研究仍较少, 因此能否在教师教学中得到较好的应用是未来KST发展面临的一大挑战.不仅如此, 要使KST快速发展, 必须解决教育学、心理学等诸多领域中的关键问题, 这需要进一步结合形式概念分析、认知诊断模型、概念认知学习等理论, 充分发挥领域间交叉融合研究的优势, 才能解决这一挑战性问题.

需要指出的是, 本文介绍的知识空间理论的研究内容只是该领域众多研究成果当中的一部分, 并未涵盖所有的工作.学习空间理论的构建及其应用、基于知识空间理论的知识追踪、技能评估与学习路径、知识结构的网络、子空间及投影等研究方向, 本文均未展开介绍或详细分析.因此, 本文只是对知识空间理论进行一个大致的综述, 即针对几个重点的研究方向进行整理和总结.该领域今后定会涌现更多、更好的知识空间理论与方法, 并结合不同的学科领域, 开展深度交叉融合研究, 取得长足发展.

本文责任编委 欧阳丹彤

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参考文献
[1] DOIGNON J P, FALMAGNE J C. Spaces for the Assessment of Knowledge. International Journal of Man-Machine Studies, 1985, 23(2): 175-196. [本文引用:4]
[2] 刘艳花, 杨贯中. 基于扩展知识空间理论的技能自适应测试过程. 计算机系统应用, 2010, 19(7): 69-73, 59.
(LIU Y H, YANG G Z. Adaptive Test Process Based on Extension of Knowledge Space Theory. Computer Systems and Applications, 2010, 19(7): 69-73, 59. ) [本文引用:2]
[3] 刘译蓬. 基于知识空间理论的认知诊断自适应测试选题方法研究. 硕士学位论文. 锦州: 渤海大学, 2019.
(LIU Y P. Research on Selection Method of Cognitive Diagnosis Adaptive Test Based on Knowledge Space Theory. Master Dissertation. Jinzhou, China: Bohai University, 2019. ) [本文引用:1]
[4] 谈成群, 谢深泉. 超文本教学系统中学生知识的自适应测评研究. 计算机工程与设计, 2007, 28(20): 5072-5075.
(TAN C Q, XIE S Q. Adaptive Assessment of Students' Knowledge in Hypertext Tutoring System. Computer Engineering and Design, 2007, 28(20): 5072-5075. ) [本文引用:2]
[5] FALMAGNE J C, DOIGNON J P. Learning Spaces: Interdisciplinary Applied Mathematics. Berlin, Germany: Springer, 2011. [本文引用:6]
[6] HELLER J. Generalizing Quasi-Ordinal Knowledge Spaces to Poly-tomous Items. Journal of Mathematical Psychology, 2021, 101. DOI: DOI:10.1016/j.jmp.2021.102515. [本文引用:3]
[7] LIKERT R. A Technique for the Measurement of Attitudes. Archi-ves of Psychology, 1932, 22(140): 5-55. [本文引用:1]
[8] BERTRAM D. Likert Scales[R/OL]. [2023-12-21]. https://pages.cpsc.ucalgary.ca/~saul/wiki/uploads/CPSC681/topic-dane-likert.pdf. [本文引用:1]
[9] FALMAGNE J C, DOIGNON J P. A Class of Stochastic Procedures for the Assessment of Knowledge. British Journal of Mathematical and Statistical Psychology, 1988, 41(1): 1-23. [本文引用:4]
[10] FALMAGNE J C, DOIGNON J P. A Markovian Procedure for Asse-ssing the State of a System. Journal of Mathematical Psychology, 1988, 32(3): 232-258. [本文引用:3]
[11] DOIGNON J P, FALMAGNE J C. Knowledge Spaces. Berlin, Ger-many: Springer, 1999. [本文引用:2]
[12] ALBERT D, LUKAS J. Knowledge Spaces: Theories, Empirical Research, and Applications. London, UK: Psychology Press, 1999. [本文引用:1]
[13] HELLER J, STEINER C, HOCKEMEYER C, et al. Competence-Based Knowledge Structures for Personalised Learning. Internatio-nal Journal on E-Learning, 2006, 5(1): 75-88. [本文引用:1]
[14] DOIGNON J P. Knowledge Spaces and Skill Assignments // FISCHER G H, LAMING D, eds. Contributions to Mathematical Psychology, Psychometrics, and Methodology. Berlin, Germany: Springer, 1994: 111-121. [本文引用:2]
[15] DÜNTSCH I, GEDIGA G. Skills and Knowledge Structures. Bri-tish Journal of Mathematical Psychology, 1995, 48(1): 9-27. [本文引用:2]
[16] MARTE B, STEINER C M, HELLER J, et al. Activity-and Taxonomy-Based Knowledge Representation Framework. International Journal of Knowledge and Learning, 2008, 4(2/3): 189-202. [本文引用:1]
[17] WILLE R. Restructuring Lattice Theory: An Approach Based on Hierarchies of Concepts // RIVAL I, ed. Ordered Sets. Berlin, Germany: Springer, 1982: 445-470. [本文引用:1]
[18] NICOTRA E F, SPOTO A. Connections and Dissimilarities among Formal Concept Analysis, Knowledge Space Theory and Cognitive Diagnostic Models in a Systemic Perspective // MINATI G, AB-RAM M R, PESSA E, eds. Systemics of Incompleteness and Quasi-Systems. Berlin, Germany: Springer, 2019: 235-241. [本文引用:1]
[19] RUSCH A, WILLE R. Knowledge Spaces and Formal Concept Ana-lysis // BOCK H H, POLASEK W, eds. Data Analysis and Information Systems: Statistical and Conceptual Approaches. Berlin, Germany: Springer, 1996: 427-436. [本文引用:2]
[20] ALBERT D, SCHREPP M. Structure and Design of an Intelligent Tutorial System Based on Skill Assignments // ALBERT D, LUKAS J, eds. Knowledge Spaces. London, UK: Psychology Press, 1999: 191-208. [本文引用:1]
[21] ARASASINGHAM R D, TAAGEPERA M, POTTER F, et al. Asse-ssing the Effect of Web-Based Learning Tools on Student Understand ing of Stoichiometry Using Knowledge Space Theory. Journal of Chemical Education, 2005, 82(8): 1251-1262. [本文引用:2]
[22] FALMAGNE J C, KOPPEN M, VILLANO M, et al. Introduction to Knowledge Spaces: How to Build, Test, and Search Them. Psychological Review, 1990, 97(2): 201-224. [本文引用:2]
[23] KOPPEN M, DOIGNON J P. How to Build a Knowledge Space by Querying an Expert. Journal of Mathematical Psychology, 1990, 34(3): 311-331. [本文引用:2]
[24] KOPPEN M. Extracting Human Expertise for Constructing Know-ledge Spaces: An Algorithm. Journal of Mathematical Psychology, 1993, 44(3): 1-20. [本文引用:1]
[25] KAMBOURI M, KOPPEN M, VILLANO M, et al. Knowledge Asse-ssment: Tapping Human Expertise by the Query Routine. International Journal of Human-Computer Studies, 1994, 40(1): 119-151. [本文引用:1]
[26] DOWLING C E. Applying the Basis of a Knowledge Space for Controlling the Questioning of an Expert. Journal of Mathematical Psychology, 1993, 37(1): 21-48. [本文引用:1]
[27] SCHREPP M, HELD T. A Simulation Study Concerning the Effect of Errors on the Establishment of Knowledge Spaces by Querying Experts. Journal of Mathematical Psychology, 1995, 39(4): 376-382. [本文引用:1]
[28] COSYN E, THIERY N. A Practical Procedure to Build a Know-ledge Structure. Journal of Mathematical Psychology, 2000, 44(3): 383-407. [本文引用:1]
[29] STEFANUTTI L, KOPPEN M. A Procedure for the Incremental Construction of a Knowledge Space. Journal of Mathematical Psychology, 2003, 47(3): 265-277. [本文引用:1]
[30] ÜNLÜ A, SARGIN A. DAKS: An R Package for Data Analysis Me-thods in Knowledge Space Theory. Journal of Statistical Software, 2010, 37(2). DOI: DOI:10.18637/jss.v037.i02. [本文引用:1]
[31] FLAMENT C. L'Analyse Booléenne de Questionnaire. Paris, Fran-ce: Mouton, 1976. [本文引用:1]
[32] BROWN F M. Boolean Reasoning. Boston, USA: Kluwer Acade-mic Publishers, 1990. [本文引用:1]
[33] VAN LEEUWE J F. Item Tree Analysis[J/OL]. [2023-12-21]. https://psycnet.apa.org/record/1975-08628-001. [本文引用:2]
[34] SCHREPP M. Explorative Analysis of Empirical Data by Boolean Analysis of Questionaires. Zeitschrift für Psychologie, 2002, 210(2): 99-109. [本文引用:1]
[35] THEUNS P. A Dichotomization Method for Boolean Analysis of Quan-tifiable Co-occurrence Data // FISCHER G H, LAMING D, eds. Contributions to Mathematical Psychology Psychometrics, and Methodology. Berlin, Germany: Springer, 1994: 389-402. [本文引用:1]
[36] THEUNS P. Building a Knowledge Space via Boolean Analysis of Co-occurrence Data // DOWLING C E, ROBERTS F S, THEUNS P, eds. Recent Progress in Mathematical Psychology. London, UK: Psychology Press, 1998: 173-194. [本文引用:1]
[37] SCHREPP M. On the Empirical Construction of Implications Between Bi-valued Test Items. Mathematical Social Sciences, 1999, 38(3): 361-375. [本文引用:2]
[38] SARGIN A, ÜNLÜ A. Inductive Item Tree Analysis: Corrections, Improvements, and Comparisons. Mathematical Social Sciences, 2009, 58(3): 376-392. [本文引用:2]
[39] SCHREPP M. Extracting Knowledge Structures from Observed Data. British Journal of Mathematical and Statistical Psychology, 1999, 52(2): 213-224. [本文引用:2]
[40] DE CHIUSOLE D, STEFANUTTI L, SPOTO A. A Class of k-Mo-des Algorithms for Extracting Knowledge Structures from Data. Behavior Research Methods, 2017, 49(4): 1212-1226. [本文引用:1]
[41] HUANG Z X, NG M K. A Fuzzy k-Modes Algorithm for Clustering Categorical Data. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 1999, 7(4): 446-452. [本文引用:1]
[42] CHATURVEDI A, GREEN P E, CAROLL J D. k-Modes Clus-tering. Journal of Classification, 2001, 18(1): 35-55. [本文引用:1]
[43] SPOTO A, STEFANUTTI L, VIDOTTO G. Knowledge Space Theo-ry, Formal Concept Analysis, and Computerized Psychological Assessment. Behavior Research Methods, 2010, 42(1): 342-350. [本文引用:1]
[44] SPOTO A, STEFANUTTI L, VIDOTTO G. On the Unidentifiability of a Certain Class of Skill Map-Based Probabilistic Knowledge Structures. Journal of Mathematical Psychology, 2012, 56(4), 248-255. [本文引用:1]
[45] SUCK R. Skills First-An Alternative Approach to Construct Know-ledge Spaces. Journal of Mathematical Psychology, 2021, 101. DOI: DOI:10.1016/j.jmp.2021.102517. [本文引用:1]
[46] SPOTO A, STEFANUTTI L, VIDOTTO G. An Iterative Procedure for Extracting Skill Maps from Data. Behavior Research Methods, 2016, 48(2): 729-741. [本文引用:1]
[47] 周银凤, 李进金, 冯丹露, 等. 形式背景下的学习路径与技能评估. 模式识别与人工智能, 2021, 34(12): 1069-1084.
(ZHOU Y F, LI J J, FENG D L, et al. Learning Paths and Skills Assessment in Formal Context. Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 2021, 34(12): 1069-1084. ) [本文引用:1]
[48] 周银凤, 李进金. 形式背景下的技能约简与评估. 计算机科学与探索, 2022, 16(3): 692-702.
(ZHOU Y F, LI J J. Skill Reduction and Assessment in Formal Context. Journal of Frontiers of Computer Science and Technology, 2022, 16(3): 692-702. ) [本文引用:2]
[49] SUN W, LI J J, GE X, et al. Knowledge Structures Delineated by Fuzzy Skill Maps. Fuzzy Sets and Systems, 2021, 407: 50-66. [本文引用:2]
[50] MARTIN J L, WILEY J A. Algebraic Representations of Beliefs and Attitudes II: Microbelief Models for Dichotomous Belief Data. Sociological Methodology, 2000, 30(1): 123-164. [本文引用:1]
[51] SCHREPP M. About the Connection Between Knowledge Structures and Latent Class Models. Methodology, 2005, 1(3): 92-102. [本文引用:1]
[52] ÜNLÜ A. Estimation of Careless Error and Lucky Guess Probabilities for Dichotomous Test Items: A Psychometric Application of a Biometric Latent Class Model with Rand om Effects. Journal of Mathematical Psychology, 2006, 50(3): 309-328. [本文引用:3]
[53] TOIVONEN H. Sampling Large Databases for Association Rules // Proceedings of the 22nd International Conference on Very Large Data Bases. San Francisco, USA: Morgan Kaufmann Publishers, 1996: 134-145. [本文引用:1]
[54] HÁJEK P, HAVEL I, CHYTIL M. The GUHA Method of Automatic Hypotheses Determination. Computing, 1966, 1(4): 293-308. [本文引用:1]
[55] HÁJEK P, HAVRÁNEK T. On Generation of Inductive Hypotheses. International Journal of Man-Machine Studies, 1977, 9(4): 415-438. [本文引用:1]
[56] ÜNLÜ A, MALIK W A. Interactive Glyph Graphics of Multivariate Data in Psychometrics. Methodology, 2011, 7(4): 134-144. [本文引用:2]
[57] ÜNLÜ A, SARGIN A. Interactive Visualization of Assessment Data: The Software Package Mondrian. Applied Psychological Mea-surement, 2009, 33(2): 148-156. [本文引用:1]
[58] ÜNLÜ A, SARGIN A. Mosaic Displays for Combinatorial Psychometric Models // CERCHIELLO P, TARANTOLA C. Proc of the Classification and Data Analysis Group. Pavia, Italy: Pavia University Press, 2011: 52. [本文引用:1]
[59] DOWLING C E. On the Irredundant Generation of Knowledge Spaces. Journal of Mathematical Psychology, 1993, 37(1): 49-62. [本文引用:1]
[60] SCHREPP M. A Generalization of Knowledge Space Theory to Pro-blems with More Than Two Answer Alternatives. Journal of Mathematical Psychology, 1997, 41(3): 237-243. [本文引用:3]
[61] BARTL E, BELOHLAVEK R. Knowledge Spaces with Graded Know-ledge States. Information Sciences, 2011, 181(8): 1426-1439. [本文引用:1]
[62] STEFANUTTI L, ANSELMI P, DE CHIUSOLE D, et al. On the Polytomous Generalization of Knowledge Space Theory. Journal of Mathematical Psychology, 2020, 94. DOI: DOI:10.1016/j.jmp.2019.102306. [本文引用:2]
[63] STEFANUTTI L. On the Assessment of Procedural Knowledge: From Problem Spaces to Knowledge Spaces. British Journal of Mathema-tical and Statistical Psychology, 2019, 72(2): 185-218. [本文引用:2]
[64] WANG B, LI J J, SUN W, et al. Notes on the Polytomous Gene-ralization of Knowledge Space Theory. Journal of Mathematical Psychology, 2022, 109. DOI: DOI:10.1016/j.jmp.2022.102672. [本文引用:1]
[65] WANG B, LI J J, SUN W. CD-Polytomous Knowledge Spaces and Corresponding Polytomous Surmise Systems. British Journal of Mathe-matical and Statistical Psychology, 2023, 76(1): 87-105. [本文引用:2]
[66] GE X. On Galois Connections Between Polytomous Knowledge Stru-ctures and Polytomous Attributions. Journal of Mathematical Psychology, 2022, 110. DOI: DOI:10.1016/j.jmp.2022.102708. [本文引用:1]
[67] 孙晓燕, 李进金. 基于程序性知识学习的项目状态转移函数与多分知识结构. 模式识别与人工智能, 2022, 35(3): 223-242.
(SUN X Y, LI J J. Item State Transition Functions and Polytomous Knowledge Structures Based on Procedural Knowledge Learning. Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 2022, 35(3): 223-242. ) [本文引用:1]
[68] SUN W, LI J J, LIN F C, et al. Constructing Polytomous Know-ledge Structures from Fuzzy Skills. Fuzzy Sets and Systems, 2023, 461. DOI: DOI:10.1016/j.fss.2022.09.003. [本文引用:3]
[69] DE CHIUSOLE D, SPOTO A, STEFANUTTI L. Extracting Partially Ordered Clusters from Ordinal Polytomous Data. Behavior Research Methods, 2020, 52: 503-520. [本文引用:1]
[70] DOIGNON J P, FALMAGNE J C. Knowledge Assessment: A Set-Theoretic Framework[M/OL]. [2023-12-21]. https://books.google.co.uk/books?redir_esc=y&hl=zh-CN&id=JmkoAQAAIAAJ&focus=searchwithinvolume&q=Knowledge+Assessment. [本文引用:1]
[71] DOIGNON J P. Probabilistic Assessment of Knowledge // ALBERT D, ed. Knowledge Structures. Berlin, Germany: Springer, 1994: 1-57. [本文引用:1]
[72] FALMAGNE J C. A Latent Trait Theory via a Stochastic Learning Theory for a Knowledge Space. Psychometrika, 1989, 54(2): 283-303. [本文引用:1]
[73] FALMAGNE J C. Probabilistic Knowledge Spaces: A Review // ROBERTS F, ed. Applications of Combinatorics and Graph Theory to the Biological and Social Sciences. Berlin, Germany: Springer, 1989: 95-101. [本文引用:1]
[74] COSYN E, UZUN H B. Note on Two Necessary and Sufficient Axioms for a Well-Graded Knowledge Space. Journal of Mathematical Psychology, 2009, 53(1): 40-42. [本文引用:2]
[75] DOIGNON J P. Learning Spaces, How to Build Them // Proc of the 12th International Conference on Formal Concept Analysis. Berlin, Germany: Springer, 2014: 1-14. [本文引用:1]
[76] DOIGNON J P, FALMAGNE J C. Knowledge Space and Learning Spaces[C/OL]. [2023-12-23]. https://arxiv.org/abs/1511.06757. [本文引用:1]
[77] JAMISON R E. Copoints in Antimatroids[C/OL]. [2023-12-23]. https://books.google.co.uk/books/about/Proceedings_of_the_Eleventh_Southeastern.html?id=tj2jygAACAAJ&redir_esc=y. [本文引用:1]
[78] JAMISON R E. A Perspective on Abstract Convexity: Classifying Alignments by Varieties // KAY D C, BREEN M, eds. Convexity and Related Combinatorial Geometry. New York, USA: Marcel Dekker, 1982: 113-150. [本文引用:1]
[79] KOPPEN M. On Alternative Representations for Knowledge Spaces. Mathematical Social Sciences, 1998, 36(2): 127-143. [本文引用:1]
[80] OVCHINNIKOV S V. Well-Graded Spaces of Valued Sets. Discrete Mathematics, 2002, 245(1/2/3): 217-233. [本文引用:1]
[81] BOGART K P. Preference Structures I: Distances Between Transitive Preference Relations. The Journal of Mathematical Sociology, 1973, 3(1): 49-67. [本文引用:1]
[82] SUCK R. Parsimonious Set Representations of Orders, A Generalization of the Interval Order Concept, and Knowledge Spaces. Discrete Applied Mathematics, 2003, 127(2): 373-386. [本文引用:1]
[83] EPPSTEIN D, FALMAGNE J C, OVCHINNIKOV S. Media and Well-Graded Families // EPPSTEN D, FALMAGNE J C, OVCHI-NNIKOV S, eds. Media Theory: Interdisciplinary Applied Mathematics. Berlin, Germany: Springer, 2008: 49-71. [本文引用:1]
[84] EPPSTEIN D, FALMAGNE J C, UZUN H. On Verifying and Engineering the Wellgradedness of a Union-Closed Family. Journal of Mathematical Psychology, 2009, 53(1): 34-39. [本文引用:1]
[85] OVCHINNIKOV S V. Well-Graded Families of Fuzzy Sets // Proc of the Annual Conference of the North American Fuzzy Information Processing Society Held Jointly with 5th World Conference on Soft Computing. Washington, USA: IEEE, 2015. DOI: DOI:10.1109/NAFIPS-WConSC.2015.7284159. [本文引用:1]
[86] MATAYOSHI J. On the Properties of Well-Graded Partially Union-Closed Families. Journal of Mathematical Psychology, 2017, 80: 15-21. [本文引用:1]
[87] GIARLOTTA A, WATSON S. Well-Graded Families of NaP-Pre-ferences. Journal of Mathematical Psychology, 2017, 77: 21-28. [本文引用:1]
[88] DOIGNON J P, FALMAGNE J C. Well-Graded Families of Relations. Discrete Mathematics, 1997, 173(1/2/3): 35-44. [本文引用:1]
[89] MATAYOSHI J. Well-Graded Families and the Union-Closed Sets Conjecture. The Electronic Journal of Combinatorics, 2020, 27(1). DOI: https://doi.org/10.37236/8380. [本文引用:1]
[90] SUN W, LI J J, HE Z R, et al. Well-Graded Polytomous Know-ledge Structures. Journal of Mathematical Psychology, 2023, 114. DOI: DOI:10.1016/j.jmp.2023.102770. [本文引用:1]
[91] WANG B, LI J J. Exploring Well-Gradedness in Polytomous Know-ledge Structures. Journal of Mathematical Psychology, 2024, 119. DOI: DOI:10.1016/j.jmp.2024.102840. [本文引用:1]
[92] HELLER J. A Formal Framework for Characterizing Querying Algorithms. Journal of Mathematical Psychology, 2004, 48(1): 1-8. [本文引用:1]
[93] MÜLLER C E. A Procedure for Facilitating an Expert's Judgments on a Set of Rules // ROSKAM E E, ed. Mathematical Psychology in Progress. Berlin, Germany: Springer, 1989: 157-170. [本文引用:1]
[94] KOPPEN M G M. Ordinal Data Analysis: Biorder Representation and Knowledge Spaces. Nijmegen, Holland : Katholieke Universiteit Nijmegen, 1989. [本文引用:1]
[95] DAVEY B A, PRIESTLEY H A. Introduction to Lattices and Order. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1990. [本文引用:1]
[96] EDELMAN P H, JAMISON R E. The Theory of Convex Geometries. Geometriae Dedicata, 1985, 19(3): 247-270. [本文引用:1]
[97] VAN DE VEL M. The Theory of Convex Structures. Amsterdam, Holland : North-Holland Publishing, 1993. [本文引用:1]
[98] SCHREPP M, HELD T, ALBERT D. Component-Based Construction of Surmise Relations for Chess Problems // ALBERT D, LUKAS J, eds. Knowledge Spaces. London, UK: Psychology Press, 1999: 53-78. [本文引用:1]
[99] 陈惠琴, 李进金, 林宇静, 等. 技能背景下学习空间的判别方法和技能评估. 南京大学学报(自然科学), 2023, 59(1): 107-119. )
(CHEN H Q, LI J J, LIN Y J, et al. Discrimination Method of Learning Space and Skills Assessment in Skill Context. Journal of Nanjing University(Natural Science), 2023, 59(1): 107-119. ) [本文引用:2]
[100] GE X. On the Correspondence Between Granular Polytomous Spaces and Polytomous Surmising Functions. Journal of Mathematical Psychology, 2023, 113. DOI: DOI:10.1016/j.jmp.2022.102743. [本文引用:1]
[101] BRANDT S, ALBERT D, HOCKEMEYER C. Surmise Relations Between Tests: Preliminary Results of the Mathematical Mode-ling. Electronic Notes in Discrete Mathematics, 1999, 2: 10-24. [本文引用:1]
[102] BRANDT S, ALBERT D, HOCKEMEYER C. Surmise Relations Between Tests-Mathematical Considerations. Discrete Applied Mathematics, 2003, 127(2): 221-239. [本文引用:1]
[103] ÜNLÜ A, BRANDT S, ALBERT D. Test Surmise Relations, Test Knowledge Structures, and Their Characterizations. Augsburg, Germany: Universität Augsburg, 2007. [本文引用:1]
[104] KOROSSY K. Modeling Knowledge as Competence and Perfor-mance // ALBERT D, LUKAS J, eds. Knowledge Spaces. London, UK: Psychology Press, 1999: 115-144. [本文引用:1]
[105] HELLER J, AUGUSTIN T, HOCKEMEYER C, et al. Recent Developments in Competence-Based Knowledge Space Theory // FALMAGNE J C, ALBERT D, DOBLE C, et al. , eds. Know-ledge Spaces: Applications in Education. Berlin, Germany: Springer, 2013: 243-286. [本文引用:3]
[106] ROZEBOOM W, LORD F M, NOVICK M R, et al. Statistical Theories of Mental Test Scores. American Educational Research Journal, 1969, 6(1): 112-116. [本文引用:1]
[107] WAINER W, MESSICK S. Principals of Modern Psychological Measurement: A Festschrift for Frederic M. Lord. London, UK: Routledge, 2012. [本文引用:1]
[108] WAINER H, DORANS N J, FLAUGHER R, et al. Computerized Adaptive Testing: A Primer. London, UK: Routledge, 2000. [本文引用:1]
[109] WEISS D J, BOCK R D. New Horizons in Testing: Latent Trait Test Theory and Computerized Adaptive Testing. New York, USA: Academic Press, 1983. [本文引用:1]
[110] MARSHALL S P. Sequential Item Selection: Optimal and Heuristic Policies. Journal of Mathematical Psychology, 1981, 23(2): 134-152. [本文引用:1]
[111] ZHOU Y F, LI J J, WANG H K, et al. Skills and Fuzzy Know-ledge Structures. Journal of Intelligent and Fuzzy Systems, 2022, 42(3): 2629-2645. [本文引用:1]
[112] 李俊杰, 杨贯中. 基于技能的知识结构. 微计算机信息, 2012, 28(2): 77-78, 58.
(LI J J, YANG G Z. Skill-Based Knowledge Structure. Microcomputer Information, 2012, 28(2): 77-78, 58. ) [本文引用:1]
[113] GE X, LI J J. A Note on the Separability of Items in Knowledge Structures Delineated by Skill Multimaps. Journal of Mathematical Psychology, 2020, 98. DOI: DOI:10.1016/j.jmp.2020.102427. [本文引用:1]
[114] HELLER J, ANSELMI P, STEFANUTTI L, et al. A Necessary and Sufficient Condition for Unique Skill Assessment. Journal of Mathematical Psychology, 2017, 79: 23-28. [本文引用:1]
[115] XU B C, LI J J. The Inclusion Degrees of Fuzzy Skill Maps and Knowledge Structures. Fuzzy Sets and Systems, 2023, 465. DOI: DOI:10.1016/j.fss.2023.108540. [本文引用:2]
[116] 孙文. 模糊集在知识空间理论中的应用. 博士学位论文. 汕头: 汕头大学, 2022.
(SUN W. Some Applications of Fuzzy Sets in Knowledge Space Theory. Ph. D. Dissertation. Shantou, China: Shantou University, 2022. ) [本文引用:1]
[117] ANSELMI P, HELLER J, STEFANUTTI L, et al. Constructing, Improving, and Shortening Tests for Skill Assessment. Journal of Mathematical Psychology, 2022, 106. DOI: DOI:10.1016/j.jmp.2021.102621. [本文引用:1]
[118] ANSELMI P, HELLER J, STEFANUTTI L, et al. Constructing Tests for Skill Assessment with Competence-Based Test Development. British Journal of Mathematical and Statistical Psychology, 2024. DOI: DOI:10.1111/bmsp.12335. [本文引用:1]
[119] XIE X X, XU W H, LI J J. A Novel Concept-Cognitive Learning Method: A Perspective from Competences. Knowledge-Based Systems, 2023, 265. DOI: DOI:10.1016/j.knosys.2023.110382. [本文引用:1]
[120] XU F F, MIAO D Q, YAO Y Y, et al. Analyzing Skill Sets with Or-Relation Tables in Knowledge Spaces // Proc of the 8th IEEE International Conference on Cognitive Informatics. Washington, USA: IEEE, 2009: 174-180. [本文引用:1]
[121] 高纯, 王睿智. 知识空间理论析取模型下最小技能集的生成. 计算机科学与探索, 2010, 4(12): 1109.
(GAO C, WANG R Z. The Formation of Minimal Skill Set in Disjunctive Model of Knowledge Space Theory. Journal of Frontiers of Computer Science and Technology, 2010, 4(12): 1109-1114. ) [本文引用:2]
[122] LIU G L. Rough Set Approaches in Knowledge Structures. International Journal of Approximate Reasoning, 2021, 138: 78-88. [本文引用:2]
[123] 杨桃丽, 李进金, 李招文, 等. 基于技能构建知识结构的两种变精度模型与技能子集约简. 模式识别与人工智能, 2022, 35(8): 671-687.
(YANG T L, LI J J, LI Z W, et al. Two Kinds of Variable Precision Models Based on Skill for Constructing Knowledge Structures and Skill Subset Reduction. Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 2022, 35(8): 671-687. ) [本文引用:2]
[124] GEDIGA G, DÜNTSCH I. Skill Set Analysis in Knowledge Structures. British Journal of Mathematical and Statistical Psychology, 2002, 55(2): 361-384. [本文引用:2]
[125] HELLER J, REPITSCH C. Distributed Skill Functions and the Meshing of Knowledge Structures. Journal of Mathematical Psychology, 2008, 52(3): 147-157. [本文引用:1]
[126] HELLER J, ÜNLÜ A, ALBERT D. Skills, Competencies and Knowledge Structures // FALMAGNE J C, ALBERT D, DOBLE C, et al. , eds. Knowledge Spaces: Applications in Education. Berlin, Germany: Springer, 2013: 229-242. [本文引用:1]
[127] HE Z R, SUN W. Competence-Based Skill Functions and Minimal Sets of Skills. Symmetry, 2022, 14(5). DOI: DOI:10.3390/sym14050884. [本文引用:1]
[128] STEFANUTTI L, DE CHIUSOLE D. On the Assessment of Lear-ning in Competence Based Knowledge Space Theory. Journal of Mathematical Psychology, 2017, 80: 22-32. [本文引用:2]
[129] KOROSSY K. Extending the Theory of Knowledge Spaces: A Com-petence-Performance Approach. Zeitschrift Für Psychologie, 1997, 205(1): 53-82. [本文引用:3]
[130] KOROSSY K. Modellierung Von Wissen als Kompetenz und Performanz[C/OL]. [2023-12-07]. https://www.researchgate.net/publication/241027818. [本文引用:2]
[131] CHOMSKY N. Aspects of the Theory of Syntax. Cambridge, USA: MIT Press, 1965. [本文引用:1]
[132] KICKMEIER-RUST M D, ALBERT D, STEINER C. Lifelong Competence Development: On the Advantages of Formal Competence-Performance Modeling[C/OL]. [2023-12-07]. https://core.ac.uk/download/pdf/55533858.pdf. [本文引用:1]
[133] VILLANO M. Probabilistic Student Models: Bayesian Belief Networks and Knowledge Space Theory // Proc of the International Conference on Intelligent Tutoring Systems. Berlin, Germany: Springer, 1992: 491-498. [本文引用:1]
[134] STEFANUTTI L, ROBUSTO E. Recovering a Probabilistic Know-ledge Structure by Constraining its Parameter Space. Psychometrika, 2009, 74(1): 83-96. [本文引用:2]
[135] HELLER J, WICKELMAIER F. Minimum Discrepancy Estimation in Probabilistic Knowledge Structures. Electronic Notes in Discrete Mathematics, 2013, 42: 49-56. [本文引用:1]
[136] ANSELMI P, STEFANUTTI L, DE CHIUSOLE D, et al. The Assessment of Knowledge and Learning in Competence Spaces: The Gain-Loss Model for Dependent Skills. British Journal of Mathematical and Statistical Psychology, 2017, 70(3): 457-479. [本文引用:1]
[137] SPOTO A, STEFANUTTI L. On the Necessary and Sufficient Con-ditions for Delineating Forward-and Backward-Graded Knowledge Structures from Skill Maps. Journal of Mathematical Psychology, 2020, 99. DOI: DOI:10.1016/j.jmp.2020.102451. [本文引用:1]
[138] MATAYOSHI J, UZUN H. Learning, Forgetting, the Correlation of Knowledge in Knowledge Space Theory. Journal of Mathe-matical Psychology, 2022, 109. DOI: DOI:10.1016/j.jmp.2022.102674. [本文引用:1]
[139] JUNKER B W, SIJTSMA K. Cognitive Assessment Models with Few Assumptions, and Connections with Nonparametric Item Response Theory. Applied Psychological Measurement, 2001, 25(3): 258-272. [本文引用:1]
[140] MARIS E. Estimating Multiple Classification Latent Class Models. Psychometrika, 1999, 64(2): 187-212. [本文引用:1]
[141] FALMAGNE J C. Finite Markov Learning Models for Knowledge Structures // FISCHER G H, LAMING D, eds. Contributions to Mathematical Psychology, Psychometrics, and Methodology. Berlin, Germany: Springer, 1994: 75-89. [本文引用:1]
[142] FRIES S. Empirical Validation of a Markovian Learning Model for Knowledge Structures. Journal of Mathematical Psychology, 1997, 41(1): 65-70. [本文引用:1]
[143] KEMENY J G, SNELL J L. Finite Markov Chains: With a New Appendix "Generalization of a Fundamental Matrix". Berlin, Germany: Springer, 1976. [本文引用:1]
[144] PARZEN E. Stochastic Processes. San Francisco, USA: Holden-Day, 1962. [本文引用:1]
[145] ROBUSTO E, STEFANUTTI L, ANSELMI P. The Gain-Loss Model: A Probabilistic Skill Multimap Model for Assessing Learning Processes. Journal of Educational Measurement, 2010, 47(3): 373-394. [本文引用:1]
[146] STEFANUTTI L, ANSELMI P, ROBUSTO E. Assessing Learning Processes with the Gain-Loss Model. Behavior Research Methods, 2010, 43: 66-76. [本文引用:1]
[147] CORBETT A T, ANDERSON J R. Knowledge Tracing: Modeling the Acquisition of Procedural Knowledge. User Modeling and User-Adapted Interaction, 1994, 4(4): 253-278. [本文引用:1]
[148] YUDELSON M V, KOEDINGER K R, GORDON G J. Individualized Bayesian Knowledge Tracing Models // Proc of the 16th International Conference on Artificial Intelligence in Education. Berlin, Germany: Springer, 2013: 171-180. [本文引用:1]
[149] ANSELMI P, ROBUSTO E, STEFANUTTI L. A Procedure for Iden-tifying the Best Skill Multimap in the Gain-Loss Model. Electronic Notes in Discrete Mathematics, 2013, 42: 9-16. [本文引用:1]
[150] DE CHIUSOLE D, ANSELMI P, STEFANUTTI L, et al. The Gain-Loss Model: Bias of the Parameter Estimates. Electronic Notes in Discrete Mathematics, 2013, 42: 33-40. [本文引用:1]
[151] ANDERSEN E B. Latent Structure Analysis: A Survey. Scand inavian Journal of Statistics, 1982, 9(1): 1-12. [本文引用:2]
[152] HAGENAARS J A, MCCUTCHEON A L. Applied Latent Class Analysis. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2002. [本文引用:2]
[153] VERMUNT J K, MAGIDSON J. "Latent Class Analysis". The Sage Encyclopedia of Social Sciences Research Methods, London, England : Sage Publications, 2004: 549-553. [本文引用:1]
[154] HEINEN T. Latent Class and Discrete Latent Trait Models: Similarities and Differences. London, UK: Sage Publications, 1996. [本文引用:1]
[155] SCHREPP M. Properties of the Correlational Agreement Coefficient: A Comment to Ünlü and Albert(2004). Mathematical Social Sciences, 2006, 51(1): 117-123. [本文引用:3]
[156] VERMUNT J K. Log-Linear Models for Event Histories. Thousand Oaks, USA: Sage Publications, 1997. [本文引用:1]
[157] MACDONALD I L, ZUCCHINI W. Hidden Markov Models and Other Types of Models for Discrete-Valued Time Series. Boca Raton, USA: Chapman and Hall, 1997. [本文引用:1]
[158] STEFANUTTI L, DE CHIUSOLE D, ANSELMI P, et al. Extending the Basic Local Independence Model to Polytomous Data. Psychometrika, 2020, 85(3): 684-715. [本文引用:1]
[159] GANTER B, BEDEK M, HELLER J, et al. An Invitation to Know-ledge Space Theory // Proc of the 14th International Conference on Formal Concept Analysis. Berlin, Germany: Springer, 2017: 3-19. [本文引用:1]
[160] 李进金, 孙文. 知识空间, 形式背景和知识基. 西北大学学报(自然科学版), 2019, 49(4): 517-526.
(LI J J, SUN W. KnowledgeSpace, Formal Context and Know-ledge Base. Journal of Northwest University (Natural Science Edi-tion), 2019, 49(4): 517-526. ) [本文引用:1]
[161] OJEDA-HERNÁNDEZ M, PÉREZ-GÁMEZ F, LÓPEZ-RODRÍ-GUEZ D, et al. Minimal Generators from Positive and Negative Attributes: Analysing the Knowledge Space of a Mathematics Course. International Journal of Computational Intelligence Systems, 2022, 15. DOI: DOI:10.1007/s44196-022-00123-3. [本文引用:1]
[162] 林宇静, 李进金, 陈惠琴. 形式背景下的多分知识结构与学习路径. 山东大学学报(理学版), 2023, 58(9): 114-126.
(LIN Y J, LI J J, CHEN H Q. Polytomous Knowledge Structure and Learning Path in Formal Context. Journal of Shand ong University(Natural Science), 2023, 58(9): 114-126. ) [本文引用:1]
[163] 冯丹露, 李进金, 李招文, 等. 模糊形式背景下的技能层约简与前级 (后级)知识结构的充要条件. 模式识别与人工智能, 2023, 36(5): 383-406.
(FENG D L, LI J J, LI Z W, et al. Skill Level Reduction and Necessary and Sufficient Conditions of Forward-Graded(Backward-Graded) Knowledge Structure in Fuzzy Formal Context. Pa-ttern Recognition and Artificial Intelligence, 2023, 36(5): 383-406. ) [本文引用:1]
[164] 王大利, 许晴媛, 李进金, 等. 知识点网络下的知识评估和学习路径选择. 南京大学学报(自然科学), 2023, 59(4): 629-643.
(WANG D L, XU Q Y, LI J J, et al. Knowledge Assessment and Learning Paths Selection under Knowledge-Point Network. Journal of Nanjing University(Natural Science), 2023, 59(4): 629-643. ) [本文引用:1]
[165] 于亚琪, 赵思雨, 魏玲. 面向属性概念格的概念约简及其在知识空间理论中的应用. 西北大学学报(自然科学版), 2023, 53(5): 812-820.
(YU Y Q, ZHAO S Y, WEI L. Concept Reduction of Property-Oriented Concept Lattices and Its Application in Knowledge Space Theory. Journal of Northwest University(Natural Science Edition), 2023, 53(5): 812-820. ) [本文引用:1]
[166] PAWLAK Z. RoughSets. International Journal of Computer and Information Sciences, 1982, 11(5): 341-356. [本文引用:1]
[167] YAO Y Y, MIAO D Q, XU F F. Granular Structures and Appro-ximations in Rough Sets and Knowledge Spaces // ABRAHAM A, FALCÓN R, BELLO R, eds. Rough Set Theory: A True Land mark in Data Analysis. Berlin, Germany: Springer, 2009: 71-84. [本文引用:1]
[168] 王国胤, 姚一豫, 于洪. 粗糙集理论与应用研究综述. 计算机学报, 2009, 32(7): 1229-1246.
(WANG G Y, YAO Y Y, YU H. A Survey on Rough Set Theory and Applications. Chinese Journal of Computers, 2009, 32(7): 1229-1246. ) [本文引用:1]
[169] 智慧来, 李金海. 面向知识结构分析的模糊概念格模型[J/OL]. [2023-12-21]. http: //www. jos. org. cn/1000-9825/6899. html.
(ZHI H L, LI J H. Oriented Fuzzy Concept Lattice Models for Knowledge Structure Analysis[J/OL]. [2023-12-21]. http://www.jos.org.cn/1000-9825/6899.html [本文引用:1]
[170] XU B C, LI J J, SUN W, et al. On Delineating Forward-and Backward-Graded Knowledge Structures from Fuzzy Skill Maps. Journal of Mathematical Psychology, 2023, 117. DOI: DOI:10.1016/j.jmp.2023.102819. [本文引用:1]
[171] DOBLE C, MATAYOSHI J, COSYN E, et al. A Data-Based Simu-lation Study of Reliability for an Adaptive Assessment Based on Knowledge Space Theory. International Journal of Artificial Inte-lligence in Education, 2019, 29(2): 258-282. [本文引用:1]
[172] DOWLING C E, HOCKEMEYER C, LUDWIG A H. Adaptive Assessment and Training Using the Neighbourhood of Knowledge States // Proc of the 3rd International Conference on Intelligent Tutoring Systems. Berlin, Germany: Springer, 1996: 578-586. [本文引用:1]
[173] NWANA H S. Intelligent Tutoring Systems: An Overview. Artificial Intelligence Review, 1990, 4(4): 251-277. [本文引用:1]
[174] HOCKEMEYER C, HELD T, ALBERT D. RATH-A Relational Adaptive Tutoring Hypertext WWW-Environment Based on Know-ledge Space Theory // Proc of the 4th International Conference on Computer Aided Learning and Instruction. Berlin, Germany: Springer, 1998: 417-423. [本文引用:1]
[175] CONLAN O, HOCKEMEYER C, WADE V, et al. Metadata Driven Approaches to Facilitate Adaptivity in Personalized eLearning Systems. The Journal of Information and Systems in Education, 2002, 1(1): 38-44. [本文引用:1]
[176] DE CHIUSOLE D, STEFANUTTI L, ANSELMI P, et al. Stat-Knowlab. Assessment and Learning of Statistics with Competence-based Know-ledge Space Theory. International Journal of Artificial Intelligence in Education, 2020, 30(4): 668-700. [本文引用:2]
[177] FANG Y, REN Z, HU X, et al. A Meta-Analysis of the Effectiveness of ALEKS on Learning. Educational Psychology, 2019, 39(10): 1278-1292. [本文引用:1]
[178] DE CHIUSOLE D, STEFANUTTI L, ANSELMI P, et al. Testing the Actual Equivalence of Automatically Generated Items. Behavior Research Methods, 2018, 50(1): 39-56. [本文引用:1]
[179] FALMAGNE J C, COSYN E, DOBLE C, et al. Assessing Mathematical Knowledge in a Learning Space: Validity and /or Reliability[C/OL]. [2023-12-21]. https://www.stat.cmu.edu/~brian/NCME07/Validity_in_L_Spaces.pdf [本文引用:1]
[180] DIBELLO L V, STOUT W. Guest Editors' Introduction and Overview: IRT-Based Cognitive Diagnostic Models and Related Me-thods. Journal of Educational Measurement, 2007, 44(4): 285-291. [本文引用:1]
[181] WESIAK G. Ordering Inductive Reasoning Tests for Adaptive Know-ledge Assessments: An Application of Surmise Relations Between Tests. Steiermark, Austria: University of Graz, 2003. [本文引用:1]
[182] TAAGEPERA M, POTTER F, MILLER G E, et al. Mapping Stu-dents' Thinking Patterns by the Use of the Knowledge Space Theory. International Journal of Science Education, 1997, 19(3): 283-302. [本文引用:1]
[183] TAAGEPERA M, NOORI S. Mapping Students' Thinking Patterns in Learning Organic Chemistry by the Use of Knowledge Space Theory. Journal of Chemical Education, 2000, 77(9). DOI: DOI:10.1021/ED077P1224. [本文引用:1]
[184] ARASASINGHAM R D, TAAGEPERA M, POTTER F, et al. Using Knowledge Space Theory to Assess Student Understand ing of Stoichiometry. Journal of Chemical Education, 2004, 81(10): 1517-1523. [本文引用:2]
[185] TÓTH Z. Mapping Students' Knowledge Structure in Understan-ding Density, Mass Percent, Molar Mass, Molar Volume and Their Application in Calculations by the Use of the Knowledge Space Theory. Chemistry Education Research and Practice, 2007, 8(4): 376-389. [本文引用:1]
[186] TÓTH Z, SEBESTYÉN A. Relationship Between Students' Know-ledge Structure and Problem-Solving Strategy in Stoichiometric Problems Based on the Chemical Equation. International Journal of Physics and Chemistry Education, 2009, 1(1): 8-20. [本文引用:1]
[187] TAAGEPERA M, ARASASINGHAM R D. Using Knowledge Space Theory to Assess Student Understand ing of Chemistry // FALMAGNE J C, ALBERT D, DOBLE C, et al. , eds. Knowledge Spaces: Applications in Education. Berlin, Germany: Springer, 2013: 115-128. [本文引用:1]
[188] SEGEDINAC M T, HORVAT S, RODI D, et al. Using Know-ledge Space Theory to Compare Expected and Real Knowledge Spaces in Learning Stoichiometry. Chemistry Education Research and Practice, 2018, 19(3): 670-680. [本文引用:1]
[189] TÓTH Z, KISS E. Using Particulate Drawings to Study 13-17 Year Olds' Understand ing of Physical and Chemical Composition of Matter as Well as the State of Matter. Practice and Theory in Systems of Education, 2006, 1(1): 109-125. [本文引用:1]
[190] VAARIK A, TAAGEPERA M, TAMM L. Following the Logic of Student Thinking Patterns about Atomic Orbital Structures. Journal of Baltic Science Education, 2008, 7(1): 27-36. [本文引用:1]
[191] ALBERT D, HOCKEMEYER C. Adaptive and Dynamic Hypertext Tutoring Systems Based on Knowledge Space Theory[C/OL]. [2023-12-21]. https://telearn.hal.science/file/index/docid/190402/filename/Albert-Dietrich-1997.pdf. [本文引用:1]
[192] 何庆辉, 麦裕华. 基于知识空间理论的高一学生离子反应关键学习路径. 化学教学, 2018(7): 12-17.
(HE Q H, MAI Y H. Key Study Path of Ionic Reactions for Grade 1 High School Students Based on Knowledge Space Theory. Education in Chemistry, 2018(7): 12-17. ) [本文引用:1]
[193] 麦裕华, 何庆辉, 肖信. 基于知识空间理论的高中生科学原理学习分析——以氧化还原反应为例. 化学教育(中英文), 2018, 39(19): 34-40.
(MAI Y H, HE Q H, XIAO X. Analysis of Senior High School Students' Learning of Scientific Principles Based on the Know-ledge Space Theory: A Case of Oxidation-Reduction Reaction. Chinese Journal of Chemical Education, 2018, 39(19): 34-40. ) [本文引用:1]
[194] 陈文梅, 陈博, 田欣, 等. 应用知识空间理论探究中学生的关键学习路径——以九年级“化学方程式”学习为例. 化学教学, 2022(9): 24-28.
(CHEN W M, CHEN B, TIAN X, et al. Exploring Middle School Students' Key Learning Path by Utilizing Knowledge Space Theory: Take the Study of Chemical Equations in Grade 9 as an Example. Education in Chemistry, 2022(9): 24-28. ) [本文引用:1]
[195] 陈东晓, 李进金. 基于知识空间理论的微积分关键学习路径描述. 黑龙江教育(高教研究与评估), 2023(4): 28-31.
(CHEN D X, LI J J. Description of Calculus Key Learning Path Based on Knowledge Space Theory. Heilongjiang Education(Research and Evaluation of Higher Education), 2023(4): 28-31. ) [本文引用:1]
[196] 孙波, 傅骞. 扩展知识空间理论研究. 中国电化教育, 2004(4): 74-77.
(SUN B, FU Q. Research on the Extension of Knowledge Space Theory. China Educational Technology, 2004(4): 74-77. ) [本文引用:1]
[197] 周弦. ICAI 中基于知识空间理论的知识结构模型. 硕士学位论文. 湘潭: 湘潭大学, 2005.
(ZHOU X. A Knowledge Structure Model Based on Knowledge Space Theory in ICAI. Master Dissertation. Xiangtan, China: Xiangtan University, 2005. ) [本文引用:1]
[198] 周弦, 谢深泉. 基于知识空间理论的自适应测试过程. 计算机应用, 2007, 27(S1): 68-69, 72.
(ZHOU X, XIE S Q. Adaptive Testing Process Based on Know-ledge Space Theory. Journal of Computer Applications, 2007, 27(S1): 68-69, 72. ) [本文引用:1]
[199] CHATZOPOULOU D I, ECONOMIDES A A. Adaptive Assessment of Student's Knowledge in Programming Courses. Journal of Computer Assisted Learning, 2010, 26(4): 258-269. [本文引用:1]
[200] GATHITU L N. Examination Representation Using Adaptive Testing: Application in Interview Process. Master Dissertation. Nairobi, Kenya: University of Nairobi, 2010. [本文引用:1]
[201] WU H M, KUO B C, YANG J M. Evaluating Knowledge Structure-Based Adaptive Testing Algorithms and System Development. Journal of Educational Technology and Society, 2012, 15(2): 73-88. [本文引用:1]
[202] 李爽. 基于知识处理的测评系统的研究与应用. 硕士学位论文. 大连: 大连海事大学, 2012.
(LI S. Research and Application of Knowledge-Processing-Based Test System. Master Dissertation. Dalian, China: Dalian Maritime University, 2012. ) [本文引用:1]
[203] SITTHISAK O, GILBERT L, ALBERT D. Learning in Moodle Using Competence-Based Knowledge Space Theory and IMS QTI // Proc of the International Computer Science and Engineering Confe-rence. Washington, USA: IEEE, 2013: 53-57. [本文引用:1]
[204] SITTHISAK O, GILBERT L, ALBERT D. Adaptive Learning Using an Integration of Competence Model with Knowledge Space Theory // Proc of the 2nd International Conference on Advanced Applied Informatics. Washington, USA: IEEE, 2013: 199-202. [本文引用:1]
[205] 其勒格尔. 基于KST的学习诊断模型在《大学计算机基础》课程中的实践研究. 硕士学位论文. 呼和浩特: 内蒙古师范大学, 2019.
(CHELGER. Practical Research on KST-Based Learning Diagnosis Model in the Course of University Computer Foundation. Master Dissertation. Hohhot, China: Inner Mongolia Normal University, 2019. ) [本文引用:1]
[206] 赵建康. 自适应选题和自动阅卷的研究与实现. 硕士学位论文. 南京: 南京师范大学, 2020.
(ZHAO J K. Research and Implementation of Adaptive Topic Selection and Automatic Grading. Master Dissertation. Nanjing, China: Nanjing Normal University, 2020. ) [本文引用:1]
[207] 赵宇航. 自适应测试及试题推荐系统的研究与实现. 硕士学位论文. 南京: 南京师范大学, 2021.
(ZHAO Y H. Research and Implementation of Adaptive Testing and Question Recommendation System. Master Dissertation. Nanjing, China: Nanjing Normal University, 2021. ) [本文引用:1]
[208] 孙贝, 杨贯中. 基于猜测概率和失误概率的学习诊断模型. 计算机工程与科学, 2010, 32(4): 154-158.
(SUN B, YANG G Z. A Learning Diagnostic Model Based on the Guess Probability and the Misplay Probability. Computer Engineering and Science, 2010, 32(4): 154-158. ) [本文引用:1]
[209] RONG Q, KONG W R, XIAO Y J, et al. An Adaptive Testing Approach for Competence Using Competence-Based Knowledge Space Theory // Proc of the International Conference on Smart Learning Environments. Singapore, Singapore: Springer Nature Singapore, 2023: 158-163. [本文引用:1]
[210] DE CHIUSOLE D, SPINOSO M, ANSELMI P, et al. PsycAssist: A Web-Based Artificial Intelligence System Designed for Adaptive Neuropsychological Assessment and Training. Brain Sciences, 2024, 14(2). DOI: DOI:10.3390/brainsci14020122. [本文引用:1]
[211] QU K S, ZHAI Y H, LIANG J Y, et al. Study of Decision Implications Based on Formal Concept Analysis. International Journal of General Systems, 2007, 36(2): 147-156. [本文引用:1]
[212] XU W H, LI W T. Granular Computing Approach to Two-Way Learning Based on Formal Concept Analysis in Fuzzy Datasets. IEEE Transactions on Cybernetics, 2014, 46(2): 366-379. [本文引用:1]
[213] NEWELL A, SIMON H A. Human Problem Solving. Englewood Cliffs, USA: Prentice-Hall, 1972. [本文引用:1]
[214] EBBINGHAUS H. Memory: A Contribution to Experimental Psychology. New York, USA: Columbia University, 1913. [本文引用:1]