上层网络和下层网络的邻接矩阵如下所示:

M^B=(b_ij)_n×n, M^A=(a_ij)_n×n,

网络中每个节点表示实际生活中的一个个体.如果b_ij=1, 表示在上层网络中个体x_i、x_j有连边, 即它们之间可以进行消息传播; 如果b_ij=0, 表示这两个个体之间无信息往来.同理, 如果a_ij=1, 表示在下层网络中个体x_i、x_j有连边, 即它们之间有接触; 如果a_ij=0, 表示这两个个体之间无接触.在t时刻, 任意个体x_i都以一个确定的概率处于第2节提到的8个状态之一, 记作 PiUS(t), PiAS(t), PiUE(t), PiAE(t), PiUI(t), PiAI(t), PiUR(t), PiAR(t).

在上层网络中, 在t时刻, 无意识个体x_i不被有意识的邻居告知相关消息的概率, 即个体x_i未转变成有意识个体的概率为:

r_i(t)= ∏j[1-a_jiPAj(t)λ], (2)

其中,

PAj(t)= PjAS(t)+ PjAE(t)+ PjAI(t)+ PjAR(t),

表示对节点i的邻居进行计算.

在下层网络中, 在t时刻, 个体x_i在上层中处于无意识状态、在下层中处于S状态, 且不被其邻居感染成潜伏态个体的概率为:

qUi(t)= ∏j{1-b_ji[ pjUE(t)+ pjAE(t)+ pjUI(t)+ pjAI(t)]β^U}. (3)

在t时刻, 个体x_i在上层中处于有意识状态、在下层中处于S状态, 且不被其邻居感染成潜伏态个体的概率为:

$\begin{aligned} q_{i}^{\mathrm{A}}(t)= & \prod_{j}\left\{1-b_{j i}\left[p_{j}^{\mathrm{UE}}(t)+p_{j}^{\mathrm{AE}}(t)+\right.\right. \\ & \left.\left.p_{j}^{\mathrm{UI}}(t)+p_{j}^{\mathrm{AI}}(t)\right] \beta^{\mathrm{A}}\right\} . \end{aligned}$(4)

把每个时间步分为4个连续的过程:个体间的信息传播(UAU过程), 大众媒体和政策干预导致的信息传播(在动力学方程中记为m), 传染病传播过程(SEIR过程), UI状态转化为AI状态的过程.在这8个状态之间构建起马尔可夫状态转移概率树, 表示状态之间的转化, 具体如图3所示.

图3

Fig.3

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图3 状态转移概率树Fig.3 State transition probability tree

根据式(2)~式(4)和马尔可夫状态转移概率树, 得到各个状态的MMCA方程如下:

PiUS(t+1)= PiUS(t)r_i(t)(1-m) qUi(t)+ PiAS(t)δ(1-m) qUi(t)+ PiUE(t)r_i(t)(1-m)α+ PiAE(t)δ(1-m)α, (5)

PiAS(t+1)= PiUS(t)[r_i(t)mqAi(t)+(1-r_i(t)) qAi(t)]+ PiAS(t)[δmqAi(t)+(1-δ) qAi(t)]+ PiUE(t)[r_i(t)mα+(1-r_i(t))α]+ PiAE(t)[δmα+(1-δ)α], (6)

PiUE(t+1)= PiUS(t)r_i(t)(1-m)(1- qUi(t))+ PiAS(t)δ(1-m)(1- qUi(t))+ PiUE(t)r_i(t)(1-m)(1-α-σ)+ PiAE(t)δ(1-m)(1-α-σ), (7)

PiAE(t+1)= PiUS(t)[r_i(t)m(1- qAi(t))+(1-r_i(t))(1- qAi(t))]+ PiAS(t)[δm(1- qAi(t))+(1-δ)(1- qAi(t))]+ PiUE(t)[r_i(t)m(1-α-σ)+(1-r_i(t))(1-α-σ)]+ PiAE(t)[δm(1-α-σ)+(1-δ)(1-α-σ)], (8)

PiAI(t+1)= PiUE(t)[r_i(t)mσ+r_i(t)(1-m)σκ+(1-r_i(t))σ]+ PiAE(t)[δ(1-m)σκ+(1-δ)σ+δmσ]+ PiAI(t)[δ(1-m)(1-μ)κ+δm(1-μ)+(1-δ)(1-μ)]+ PiUI(t)[r_i(t)(1-m)(1-μ)κ+r_im(1-μ)+(1-r_i(t))(1-μ)], (9)

PiUI(t+1)= PiUE(t)r_i(t)(1-m)σ(1-κ)+ PiAE(t)δ(1-m)σ(1-κ)+ PiAI(t)δ(1-m)(1-μ)(1-κ)+ PiUI(t)r_i(t)(1-m)(1-μ)(1-κ), (10)

PiAR(t+1)= PiAI(t)[δmμ+(1-δ)μ]+ PiUI(t)[r_i(t)mμ+(1-r_i(t))μ]+ PiUR(t)[r_i(t)m+1-r_i(t)]+ PiAR(t)[δm+(1-δ)], (11)

PiUR(t+1)= PiAI(t)δ(1-m)μ+ PiUI(t)r_i(t)(1-m)μ+ PiUR(t)r_i(t)(1-m)+ PiAR(t)δ(1-m), (12)

其中, t和t+1表示节点从当前时间步到下一个时间步的状态演化.在任意时间步MMCA方程都要满足下面的归一化条件, 即

PiUS(t)+ PiAS(t)+ PiUE(t)+ PiAE(t)+ PiUI(t)+ PiAI(t)+ PiUR(t)+ PiAR(t)=1.

基于3.1节改进的MMCA方程, 下面使用稳态时的MMCA方程推导得到疫情传播阈值.

定理1 给定基于双层网络UAU-SEIR的信息-传染病传播模型的动力学方程(如式(5)~式(12)所示), 本文模型中疫情传播阈值为:

β_C= (σ+α)μΛmax(H)(σ+μ),

其中, Λ_max(H)表示矩阵

H=( PUi+γ_iPAi)b_ji

的最大特征值.

证明 当系统达到稳态时, 即t足够大的时候, 满足

PiUS(t+1)= PiUS(t)= PiUS,

PiAS(t+1)= PiAS(t)= PiAS,

PiUE(t+1)= PiUE(t)= PiUE,

PiAE(t+1)= PiAE(t)= PiAE,

PiUI(t+1)= PiUI(t)= PiUI,

PiAI(t+1)= PiAI(t)= PiAI,

PiUR(t+1)= PiUR(t)= PiUR,

PiAR(t+1)= PiAR(t)= PiAR,

其中, PiUS、 PiAS、 PiUE、 PiAE、 PiUI、 PiAI、 PiUR、 PiAR分别表示在系统达到稳态时个体x_i处于8种状态的概率.

对于SEIR, 在疫情传播阈值附近, 潜伏个体和感染个体比例约等于0, 故假设

$P_{i}^{\mathrm{E}}=P_{i}^{\mathrm{AE}}+P_{i}^{\mathrm{UE}}=\epsilon_{i} \ll 1 .$

由于系统中考虑UI状态, 所以

ρ^I= 1N∑i=1NPIi= 1N∑i=1N( PiUI+ PiAI),

即

PIi= PiAI+ PiUI,

所以式(9)和式(10)相加后得

PIi=( PiUE+ PiAE)σ+( PiUI+ PiAI)(1-μ).

由于$P_{i}^{\mathrm{E}}=\epsilon_{i}$, 故

$P_{i}^{\mathrm{I}}=\frac{\sigma}{\mu} P_{i}^{\mathrm{E}}=\frac{\sigma}{\mu} \epsilon_{i},$

所以式(3)和式(4)可表示为

$q_{i}^{\mathrm{U}} \approx 1-\left(1+\frac{\sigma}{\mu}\right) \beta^{\mathrm{U}} \sum_{j} b_{j i} \epsilon_{j}=1-\left(1+\frac{\sigma}{\mu}\right) \eta_{i},$

$\begin{aligned} q_{i}^{A}(t) \approx & 1-\left(1+\frac{\sigma}{\mu}\right) \beta^{\mathrm{A}} \sum_{j} b_{j i} \epsilon_{j}= \\ & 1-\left(1+\frac{\sigma}{\mu}\right) \gamma_{0} \eta_{i}, \end{aligned}$

其中

$\eta_{i}=\beta^{\mathrm{U}} \sum_{j} b_{j i} \epsilon_{j} .$

进一步地, 式(7)和式(8)相加后得

$\begin{aligned} P_{i}^{\mathrm{E}}= & (1-\sigma-\alpha) P_{i}^{\mathrm{E}}+ \\ & P_{i}^{\mathrm{US}}\left\{r_{i}(1-m)\left(1-q_{i}^{\mathrm{U}}\right)+\right. \\ & {\left.\left[1-(1-m) r_{i}\right]\left(1-q_{i}^{\mathrm{A}}\right)\right\}+ } \\ & P_{i}^{\mathrm{AS}}\left\{\delta(1-m)\left(1-q_{i}^{\mathrm{U}}\right)+\right. \\ & {\left.[1-(1-m) \delta]\left(1-q_{i}^{\mathrm{A}}\right)\right\} . } \end{aligned}$(13)

把 qUi(t)和 qAi(t)代入式(13), 得

$\begin{aligned} \epsilon_{i}= & (1-\sigma-\alpha) \epsilon_{i}+ \\ & p_{i}^{\mathrm{US}}\left\{r_{i}(1-m)\left(1+\frac{\sigma}{\mu}\right) \eta_{i}+\right. \\ & {\left.\left[1-(1-m) r_{i}\right]\left(1+\frac{\sigma}{\mu}\right) \gamma_{0} \eta_{i}\right\}+ } \\ & p_{i}^{\mathrm{AS}}\left\{\delta(1-m)\left(1+\frac{\sigma}{\mu}\right) \eta_{i}+\right. \\ & {\left.[1-(1-m) \delta]\left(1+\frac{\sigma}{\mu}\right) \gamma_{0} \eta_{i}\right\} . } \end{aligned}$(14)

在疫情传播阈值附近,

$\begin{array}{l} P_{i}^{\mathrm{UE}} \rightarrow 0, P_{i}^{\mathrm{AE}} \rightarrow 0, P_{i}^{\mathrm{AI}} \rightarrow 0, \\ P_{i}^{\mathrm{UI}} \rightarrow 0, P_{i}^{\mathrm{UR}} \rightarrow 0, P_{i}^{\mathrm{AR}} \rightarrow 0, \end{array}$

可得

PUi+ PAi=1,

故 PUi和 PAi可表示为

PUi= PiUS+ PiUE+ PiUR≈ PiUS,

PAi= PiAS+ PiAE+ PiAI≈ PiAS,

因此, 式(14)可写为

$\begin{aligned} \epsilon_{i}= & (1-\sigma-\alpha) \epsilon_{i}+ \\ & {\left[P_{i}^{\mathrm{U}} r_{i}(1-m)+P_{i}^{\mathrm{A}}(1-m)\right]\left(1+\frac{\sigma}{\mu}\right) \eta_{i}+} \\ & \left\{P_{i}^{\mathrm{U}}\left[1-(1-m) r_{i}\right]+P_{i}^{\mathrm{A}}[1-(1-m) \delta]\right\} \cdot \\ & \left(1+\frac{\sigma}{\mu}\right) \gamma_{0} \eta_{i} . \end{aligned}$(15)

在稳定状态时, 忽略高阶项O($\epsilon_{i}$), 根据式(5)和式(6)可得

$\begin{array}{l} P_{i}^{\mathrm{U}}=P_{i}^{\mathrm{U}} r_{i}(1-m)+P_{i}^{\mathrm{A}} \delta(1-m), \\ P_{i}^{\mathrm{A}}=P_{i}^{\mathrm{U}}\left[1-(1-m) r_{i}\right]+P_{i}^{\mathrm{A}}[1-(1-m) \delta] . \end{array}$

由于

PUi+ PAi=1,

把上式代入式(15), 可得

$\begin{aligned} \epsilon_{i}= & (1-\sigma-\alpha) \epsilon_{i}+P_{i}^{\mathrm{U}}\left(1+\frac{\sigma}{\mu}\right) \eta_{i}+ P_{i}^{\mathrm{A}}\left(1+\frac{\sigma}{\mu}\right) \gamma_{0} \eta_{i} . \end{aligned}$

在上述公式中, γ₀为一个固定值, 表示所有个体防疫行为的严格程度相同.为了更真实反映实际情况, 设γ为一个服从正态分布的随机变量, 即γ~N(μ_γ, σγ2), 其中每个个体x_i的γ_i值都是从该分布中随机抽取的.因此, 修正后的表达式为:

$\begin{aligned} \epsilon_{i}= & (1-\sigma-\alpha) \epsilon_{i}+ \\ & P_{i}^{\mathrm{U}}\left(1+\frac{\sigma}{\mu}\right) \eta_{i}+P_{i}^{\mathrm{A}}\left(1+\frac{\sigma}{\mu}\right) \gamma_{i} \eta_{i}, \end{aligned}$(16)

所以, 由式(16), 得

$\frac{\mu(\sigma+\alpha)}{\beta(\mu+\sigma)} \epsilon_{i}=\sum_{j}\left(P_{i}^{\mathrm{U}}+\gamma_{i} P_{i}^{\mathrm{A}}\right) \epsilon_{j} b_{j i} .$(17)

进一步地, 式(17)可转化为线性方程组的形式:

$\sum_{j}\left[\left(P_{i}^{\mathrm{U}}+\gamma_{i} P_{i}^{\mathrm{A}}\right) b_{j i}-\frac{\mu(\sigma+\alpha)}{\beta(\mu+\sigma)} \alpha_{j i}\right] \epsilon_{j}=0,$(18)

其中, γ_i表示个体x_i的个体异质化参数.α_ij表示单位矩阵中的元素, 定义矩阵H中元素

h_ij=( PUi+γ_iPAi)b_ji,

故式(18)可用矩阵的形式表示, 即

$\boldsymbol{H} \boldsymbol{\epsilon}=\frac{(\sigma+\alpha) \mu}{\beta(\sigma+\mu)} \boldsymbol{\epsilon},$

其中

$\boldsymbol{\epsilon}=\left(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \cdots\right)^{\mathrm{T}}$

在这种情况下, 由于γ_i是从正态分布中随机抽取的, h_ij也表现出随机性.

显然, H的特征值等于

(σ+α)μβ(σ+μ).

疫情传播阈值β_C为上式最小值, 因此

β_C= (σ+α)μΛmax(H)(σ+μ), (19)

其中Λ_max(H)表示H中最大特征值.

在H中元素

h_ij=( PUi+γ_iPAi)b_ji,

PAi和 PUi分别表示个体i处于无意识状态和有意识状态下的概率, γ_i表示个体x_i的个体异质化参数, b_ji表示下层网络邻接矩阵中的元素.H反映信息传播层对疾病传播层个体防疫行为的影响, 描述个体在接收防疫信息之后如何调整自身的防疫行为, 从而影响疾病传播的动力学过程, 其本质是一个信息-行为融合矩阵, 用于刻画信息传播对个体感染概率的调节作用.

由定理1可知, β_C与下层的传播参数α、σ、 μ, 以及下层网络的拓扑结构有关.

本文模型通过整合个体防疫意识、信息传播和疾病传播, 能有效描述防疫措施对疫情传播的影响.然而, 为了更准确地理解模型的适用范围与局限性, 进行如下讨论.

3.3.1 适用性

本文模型的适用性主要体现在如下方面.

1)适用于个体防疫行为具有异质性的场景.本文采用正态分布假设建模个体防疫行为的严格程度(衰减因子), 从而能刻画不同个体在防疫意识上的差异.对于缺乏强制性防疫政策(如疫情后期政府主要依赖个人防护决策)的情境, 本文模型可更准确模拟个体差异对疫情传播的影响.

2)适用于信息传播在疫情防控中起关键作用的场景.通过构建双层网络, 本文模型可描述大众媒体、社交媒体和政策干预对个体防疫意识的影响.对于受信息传播影响较大的传染病(如COVID-19), 模型能反映信息扩散在防疫策略中的作用.

3)适用于不同防疫政策的评估.通过引入媒体政策函数, 本文模型可量化政策对疫情传播规模的影响, 从而为政策制定者提供理论支持.

3.3.2 局限性

尽管本文模型在描述疫情传播机制方面具有一定优势, 但仍存在如下局限性.

1)正态分布假设的局限性.本文假设个体防疫行为的严格程度服从正态分布, 但在如下情况下, 该假设可能不成立:当强制性防疫政策(如封锁、强制佩戴口罩)在疫情初期或信息传播不足时, 个体行为可能呈现偏态分布, 即部分人高度警惕, 而大多数人缺乏防疫意识, 或相反的情况.

2)未考虑不同类型的信息传播效应.本文主要考虑大众媒体和政策干预对疫情传播的影响, 但现实中信息传播的复杂性可能导致不同的影响:(1)谣言和虚假信息可能会降低个体防疫意识, 使部分人放松防疫措施的执行; (2)科学宣传和医疗建议可能会增强个体防疫意识, 提高防疫措施执行率.今后可考虑引入多层信息传播模型, 更全面描述信息传播对疫情防控的作用.

3)未考虑疫苗接种等长期防控因素.本文主要关注短期疫情传播过程, 但在长期防控中, 疫苗接种、免疫力衰减和病毒变异等因素可能会影响疫情传播:(1)疫苗接种率上升可能会降低疫情传播阈值, 使疫情消退; (2)病毒变异可能会降低疫苗的有效性, 改变疾病传播的动力学机制.

本节中疫情传播规模依据式(5)~式(12)描述的MMCA演化过程计算得到.这些方程通过刻画不同个体状态的转化概率, 动态模拟疫情传播过程中个体间的相互作用, 最终反映疫情在全局层面上的传播规模.

4.1.1 衰减因子γ₀

为了验证改进的MMCA的有效性, 与MC进行对比实验, 对比二者在不同衰减因子γ₀下疫情传播规模.实验参数设置如下:

λ=0.6, δ=0.2, σ=0.5, μ=0.5, α=0.3,

κ=0.8, m0₌0.3, K=5, γ0₌0, 0.2, 0.8.

该部分实验结果依据式(5)~式(12)计算得到.

不同γ₀下感染概率β对康复个体比例ρ^R的影响如图4所示.

图4

Fig.4

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图4 γ0不同时感染概率对康复个体比例的影响Fig.4 Effect of infection rates with different γ0 on proportion of recovered individuals

由图4可得如下结论.

1)疫情传播规模随感染概率的变化而变化.随着感染概率β的增加, 康复者个体比例ρ^R呈现上升趋势, 这表明更高的感染概率会导致更大的疫情传播规模.

2)改进的MMCA与MC的一致性.对于每个γ₀, MMCA的结果与MC模拟结果高度一致, 说明本文改进的MMCA在预测疫情传播规模方面具有良好的准确性.同时, 计算3种不同γ₀下改进的MMCA和MC的相对误差, 分别为0.21%, 0.65%, 0.89%, 即两者之间的相对误差极小, 由此验证改进的MMCA的有效性.

3)衰减因子对传播规模的影响.较小的γ₀值意味着更严格的防疫行为, 当γ₀=0时, 对应的

γ0*=1-γ₀

达到最大值, 表示个体采取最严格的防疫行为.此时, ρ^R值最低, 说明疫情传播受到有效抑制.较大的γ₀值意味着防疫行为减弱, 随着γ₀增大(如γ₀=0.8), γ0*减小, 表示个体防疫行为的严格程度降低, 此时, ρ^R逐渐升高, 表明疫情扩散范围扩大.

因此, 衰减因子γ₀的变化直接反映防疫行为的有效性:较小的γ₀值(更严格的防疫行为)有助于抑制疫情的传播.

基于上述讨论, 在后续实验中主要采用改进后的MMCA进行分析和研究, 充分显示其在预测疫情传播规模方面的高效性和准确性.

4.1.2 γ~N(μ_γ, σγ2)

由图4可看出, 不同的衰减因子γ₀对疫情传播影响显著不同.基于双层网络形式背景的分析, 个体在采取防疫行为上存在明显差异, 即每个个体的衰减因子γ_i并不相同.为了模拟这种个体间的异质性, 将γ设定为服从正态分布的随机变量, 即

γ~N(μ_γ, σγ2).

实验相关参数设置如下:

λ=0.6, δ=0.2, σ=0.5, μ=0.5,

α=0.3, κ=0.8, m0₌0.3, K=10.

对于服从正态分布的γ值, 均值μ_γ=0.3.该部分实验结果依据式(5)~式(12)计算得到.

首先, 对比γ为固定值和γ服从正态分布时疫情传播规模的差异, 结果如图5(a)所示, 图中方差 σγ2=0.3².由图可明显看出, 当γ服从正态分布时, 疫情传播规模大于固定γ值时, 这表明个体间防疫行为的差异性会导致疫情更加难以控制.

图5

Fig.5

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图5 γ不同时感染概率对康复个体比例的影响Fig.5 Effect of infection rates with different γ on proportion of recovered individuals

其次, 为了深入理解这一现象, 进一步研究不同正态分布方差下的疫情传播情况, 结果如图5(b)所示, 图中方差 σγ2=0.2², 0.5², 0.9².由图可见, 随着方差 σγ2的增大(即个体防疫行为差异性的增加), 疫情传播规模也随之扩大.这意味着当个体之间的防疫行为存在较大差异时, 疫情的扩散将更加严重.这一发现反映在实际防疫过程中, 个体行为的异质性对疫情控制带来的挑战:差异性越大, 管理和控制疫情的难度也随之增加.

因此, 在制定防控策略时, 需要考虑个体防疫行为的差异性, 采取措施减少这种异质性, 提高疫情防控的整体效果.

4.1.3 时变函数mg(t)

本节探究时变函数mg(t)中不同关键参数对疫情传播规模的影响.mg(t)的主要参数包括初始传播概率m₀和大众媒体对疫情的响应能力与政策干预力度K, 分别表示媒体传播的初始强度和政策干预力度.通过调整参数, 分析大众媒体在疫情不同阶段对传播规模的动态影响.相关参数设置如下:

λ=0.6, δ=0.2, σ=0.6, μ=0.5,

α=0.2, κ=0.8, γ₀=0.

该部分实验结果依据式(1)、式(5)~式(12)计算得到.

定义m₀=0, 0.3, 0.5, 0.8, K=0, 3, 5, m₀、K不同时感染概率对康复个体比例的影响如图6所示.由图6(a)可看出, m₀=0时, 图中三条线重合, 因为此时mg(t)恒为0, 即在没有大众媒体影响的情况下, K不会对信息传播产生影响.相比(b)~(d), 该情况下疫情传播规模明显大于有大众媒体影响的情况, 表明大众媒体在抑制疫情传播方面起到显著作用.由图6(b)~(d)可知, 随着K值的增大, 疫情传播规模逐渐减小, 这说明当大众媒体对疫情的响应能力和政策干预力度增强时, 信息传播的抑制效果变强, 有效减少疫情的扩散规模.值得注意的是, 在感染概率β较低时, K值对疫情传播规模的影响相对较小, 各曲线之间的差异不明显.然而, 随着β的增大, K值对疫情传播规模的影响变得显著.尤其是在β较大时, 不同K值对应的疫情传播规模差异更明显, K越大, 传播规模越小.这表明, 在高传播率情况下, 增强大众媒体对疫情的响应能力和政策干预力度(即增大K值)对于控制疫情扩散具有重要作用.

图6

Fig.6

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图6 m0、K不同时感染概率对康复个体比例的影响Fig.6 Effect of infection rates with different m0 and K on proportion of recovered individuals

为了进一步探讨函数mg(t)中ρ(t)的动态变化对疫情传播规模的影响, 对比在mg(t)中考虑潜伏期状态(即同时考虑E状态和I状态, ρ(t)=ρ^E(t)+ρ^I(t))与不考虑潜伏期状态(仅考虑I状态, ρ(t)=ρ^I(t))对疫情传播规模的影响.实验相关参数设置如下:

λ=0.6, δ=0.2, σ=0.3, μ=0.5,

α=0.2, γ₀=0, κ=0.8, K=5.

该部分实验结果依据式(5)~式(12)计算得到.

定义m₀=0.3, 0.8, m₀、 ρ(t)变化时感染概率对康复个体比例的影响如图7所示.由图可观察到, 当感染概率β较小时, 在考虑与不考虑潜伏期状态的模型之间, 疫情传播规模差异并不明显.这表明在低感染概率下, 潜伏期个体对疫情传播规模的影响相对较小.当β增至0.2以上时, 考虑E状态的模型显示出更低的疫情传播规模.这说明在高感染概率条件下, 潜伏期个体对疫情传播规模起到显著作用.这一结果反映如下现实情况:潜伏期个体虽然尚未表现出明显症状, 但如果忽略他们的存在, 可能会导致更多的个体被传染, 加剧疫情扩散.

图7

Fig.7

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图7 m0、 ρ(t)不同时感染概率对康复个体比例的影响Fig.7 Effect of infection rates with different m0 and ρ(t) on proportion of recovered individuals

因此, 在实际疫情防控中, 不仅要关注显性感染者, 还应加强对潜伏期个体的检测和隔离措施.通过及时识别和隔离潜伏期个体, 可有效降低疫情扩散速度, 提升整体防控效果, 即全面监测和快速反应在疫情防控中具有重要作用.

4.1.4 潜伏期转化速度(α、σ)

本节实验旨在探讨潜伏期节点转化参数α和σ对疫情传播规模的影响, 进一步揭示潜伏期节点对疫情控制的关键作用.实验参数设置如下:

λ=0.6, δ=0.2, μ=0.5, κ=0.8,

m₀=0.3, K=5, γ₀=0.3.

该部分实验结果依据式(5)~式(12)计算得到.

固定σ=0.3, α=0.2, 0.4, 0.6, 此时感染概率对康复个体比例的影响如图8(a)所示.由图可知, 随着α值的增加, 疫情传播规模显著减小.这表明, 当潜伏期转化为S状态的速率增大(即α值增大)时, 潜伏期节点以一定概率返回S状态, 从而有效减缓疫情的传播规模.

图8

Fig.8

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图8 α、σ不同时感染概率对康复个体比例的影响Fig.8 Effect of infection rates with different α and σ on proportion of recovered individuals

固定α=0.3, σ=0.2, 0.4, 0.6, 此时感染概率对康复个体比例的影响如图8(b)所示.由图可知, 随着σ值的增大, 疫情传播规模逐渐增大, 尽管不同σ值之间的差异并不显著.这表明节点从E状态转化为I状态的概率增大, 导致疫情传播规模在一定程度上上升.

由上述实验可得, 尽管增加E状态向S状态转移的概率以及降低E状态向I状态转化的概率均能减小疫情传播规模, 但增加E状态向S状态转移的概率在控制疫情传播方面效果更显著.

进一步地, 探讨潜伏期节点转化参数α+σ与疫情传播规模之间的关系.α+σ值不同时感染概率对康复个体比例的影响如图9所示.

图9

Fig.9

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图9 α+σ不同时感染概率对康复个体比例的影响Fig.9 Effect of infection probability with varying α+σ on proportion of recovered individuals

由图9(a)可知, 当α+σ值相同时, 不同的α和σ组合会对疫情传播规模产生不同的影响, 当α较大(即潜伏期节点更可能从E状态转化为S状态)时, 疫情传播规模较小.这说明在α+σ相同时α的增加起到抑制疫情传播的作用.

由图9(b)可知, 随着α的增加, 对应的疫情传播规模逐渐减小.这与之前的实验结论一致, 进一步验证在潜伏期动态控制中, 增大潜伏期节点向健康状态转化的概率(即提高α), 并降低其向感染状态转化的概率(即减少σ), 是有效控制疫情传播的重要手段之一.

综上所述, 通过对潜伏期转化参数α和σ的分析可得出如下结论.潜伏期节点从E状态转化为健康状态(S)的概率越高(α越大), 疫情传播规模越小; 在潜伏期转化参数的组合影响下, 提高α并降低σ, 可显著降低疫情传播规模.因此, 实际疫情防控中应注重对潜伏期节点的检测与隔离, 优化转化路径, 尤其是加强对潜伏期个体的管理, 减少其感染他人的可能性, 从而有效遏制疫情扩散.

本文模型通过式(19)计算得出疫情传播阈值β_C, 其大小受信息传播速率、个体防疫行为、媒体作用等因素的影响, 下面将探究这些参数与疫情传播阈值之间的关系.

4.2.1 潜伏期转化速度(α+σ)

本节探讨α+σ对疫情传播阈值β_C的影响.实验固定如下关键参数以确保结果的可比性:

γ₀=0, m₀=0, κ=0.8, K=5.

通过这些参数的设置, 实验能更聚焦于探讨α+σ对疫情传播阈值β_C的影响.该部分实验结果依据式(19)计算得到.

定义α+σ=0.3, 0.6, 0.9, 其对β_C的影响如图10所示.固定δ=0.1, μ=0.6, 信息传播率λ对β_C的影响如图10(a)所示.由图可知, 随着λ的增加, β_C迅速增长并趋于稳定, 较大的α+σ值对应更高的β_C, 这表明增强信息传播能有效降低疫情控制的难度.固定λ=0.6, δ=0.1, 康复率 μ对β_C的影响如图10(b)所示, 由图可知, 较高的μ值显著提高β_C, 说明加快康复速度对疫情控制至关重要.固定μ=0.6, λ=0.6, 遗忘概率δ对β_C的影响如图10(c)所示.

图10

Fig.10

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	图10 参数变化对疫情传播阈值的影响Fig.10 Effect of parameter changes on epidemic spread threshold

由图10可知, 随着δ的增加, β_C逐渐降低, 说明信息遗忘降低疫情防控的效果.

总之, 较大的α+σ值在这3种情况下均对应更高的疫情传播阈值, 这说明潜伏期转化速度在疫情防控中具有重要作用.

4.2.2 大众媒体m₀与防疫行为的异质性(μ_γ、σ_γ)

首先, 探讨m₀=0.1, 0.3, 0.6时, 衰减因子γ₀和疫情传播阈值β_C之间的关系.实验中相关参数设置如下:

λ=0.6, δ=0.1, σ=0.3,

μ=0.6, κ=0.8, K=5.

该部分实验结果依据式(19)计算得到.

m₀不同时, γ₀对β_C的影响如图11所示.

图11

Fig.11

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	图11 m0不同时衰减因子对疫情传播阈值的影响Fig.11 Effect of decay factors with different m0 on epidemic spread threshold

由图11可知, 当m₀值较大时, 对应的β_C也较大, 表明大众媒体在信息传播中的作用能显著提高疫情传播阈值、延缓疫情扩散.然而, 随着γ₀的增大( γ0*减小), 即个体采取的防疫行为变得不严格时, 各m₀值之间的疫情传播阈值差异逐渐缩小, 显示在较高的γ₀值下, 大众媒体的影响逐渐减弱.因此, 大众媒体的传播力度和个体防疫行为的严格程度(由γ₀表示)对疫情传播阈值具有显著影响.在实际的疫情防控期间, 加大大众媒体的传播力度, 增加个体防疫行为的严格程度, 会延缓疫情扩散.

下面进一步分析γ的异质性对疫情传播阈值β_C的影响, 实验中相关参数设置如下:

λ=0.5, δ=0.1, α=0.1, σ=0.3,

μ=0.6, κ=1, m0₌0.3, K=5,

μγ∈_[0, 0.3], σγ∈_[0, 0.3].

该部分实验结果依据式(19)计算得到.

不同μ_γ、 σγ2与β_C之间的热力图如图12所示.

图12

Fig.12

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	图12 个体防护措施异质性对疫情传播阈值的影响Fig.12 Effect of heterogeneity in individual protective measures on epidemic spread threshold

由图12可知, 当μ_γ越小(γ^*越大), 即个体采取的防疫行为越严格, 并且防疫行为的差异性( σγ2)越小时, β_C越大, 表明疫情越难以传播和扩散.随着μ_γ的增大, β_C显著降低, 疫情变得容易扩散.这表明在疫情防控中, 不仅需要严格的防疫行为, 还需要减少个体之间在防疫行为上的差异性, 以此提高整体的疫情传播阈值, 从而有效控制疫情的扩散.

因此, 本文提出如下建议:在疫情防控中, 应加强大众媒体信息传播和政策干预的力度, 提高疫情传播阈值, 同时, 需要鼓励个体采取严格且统一的防疫行为, 特别是在防疫行为差异性较小时, 能显著提高疫情传播阈值, 减少疫情传播风险.这些措施对于有效控制疫情扩散具有重要意义.