定义1^[1] 称(G, M, I)为形式背景, 其中, G={x₁, x₂, …, x_p}为对象集, 每个x_i(i≤ p)称为一个对象; M={a₁, a₂, …, a_q}为属性集, 每个a_j(j≤ q)称为一个属性; I为G和M之间的二元关系, I⊆G× M.若(x, a)∈ I, 表示对象x具有属性a, 记为xIa.

在形式背景(G, M, I)中, 对于任意对象子集X⊆G和属性子集B⊆M, Wille^[1]定义一对导出算子:X中所有对象共同具有的属性集合

X^* ={a∈ M|∀ x∈ X, xIa}

和共同具有B中所有属性的对象集合

B^* ={x∈ G|∀ a∈ B, xIa}.

如果一个二元组(X, B)满足X^* =B且X=B^* , 则称(X, B)是一个形式概念, 其中, X称为概念的外延, B称为概念的内涵.

使用L(G, M, I)表示形式背景(G, M, I)的全体概念, 定义

(X₁, B₁)⩽(X₂, B₂) ⇔ X₁⊆X₂(⇔ B₁⊇B₂),

则⩽为L(G, M, I)上的偏序关系, 从而(L(G, M, I), ⩽)为偏序集, 且L(G, M, I)为完备格, 称为(G, M, I)的概念格^[2].上、下确界为:

$ \begin{array}{l} \underset{t \in T}{\bigvee}\left(X_{t}, B_{t}\right)=\left(\left(\cup_{t \in T} X_{t}\right)^{* * }, \cap_{t \in T} B_{t}\right), \\ \wedge_{t \in T}\left(X_{t}, B_{t}\right)=\left(\cap_{t \in T} X_{t}, \left(\cup_{t \in T} B_{t}\right)^{* * }\right), \end{array}$

其中T为指标集.

性质1^[2] 设(G, M, I)为形式背景, ∀ X⊆G, X₁⊆G, X₂⊆G, ∀ B⊆M, B₁⊆M, B₂⊆M, 如下性质成立:

1)X₁⊆X₂ ⇒ X2*⊆ X1*,

B₁⊆B₂⇒ B2*⊆ B1*;

2)X⊆X^{* *} , B⊆B^{* *} ;

3)X^* =X^{* * *} , B^* =B^{* * *} ;

4)(X₁∪ X₂)^* = X1*∩ X2*,

(B₁∪ B₂)^* = B1*∩ B2*;

5)(X₁∩ X₂)^* ⊇ X1*∪ X2*,

(B₁∩ B₂)^* ⊇ B1*∪ B2*.

下面给出形式背景中增加对象-属性二元对(h, n), h∈ G, n∉M时形式概念的更新方法.

引理1 设(G, M, I)为形式背景, 在(G, M, I)上增加对象-属性二元对(h, n), h∈ G, n∉M, 更新后的形式背景为(G, M∪ {n}, I∪ {(h, n)}), 导出算子记为^* '.则对于∀ (X, B)∈ L(G, M, I), 如下结论成立:

1)若X⊄{h}, 则(X, B)∈ L(G, M∪ {n}, I∪ {(h, n)});

2)若X⊆{h}, 则(X, B∪ {n})∈ L(G, M∪ {n}, I∪ {(h, n)});

3)({h}, {h}^* ')∈ L(G, M∪ {n}, I∪ {(h, n)}).

证明略.

定义2^[9] 称(K₁, K₂, K₃, Y)为一个三元背景, 其中, K₁={g₁, g₂, …, g_p}为对象集, 每个g_i(i≤ p)称为一个对象; K₂={m₁, m₂, …, m_q}为属性集, 每个m_j(j≤ q)称为一个属性; K₃={b₁, b₂, …, b_r}为条件集, 每个b_k(k≤ r)称为一个条件; Y为K₁、K₂和K₃之间的三元关系, Y⊆K₁× K₂× K₃.若(g, m, b)∈ Y, 表示对象g在条件b下具有属性m.

定义3^[11] 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景, 称

K⁽¹⁾=(K₁, K₂× K₃, Y⁽¹⁾),

K⁽²⁾=(K₂, K₁× K₃, Y⁽²⁾),

K⁽³⁾=(K₃, K₁× K₂, Y⁽³⁾)

为K诱导的3个形式背景, 其中, 对于∀ g∈ K₁, m∈ K₂, b∈ K₃, 有

gY⁽¹⁾(m, b) ⇔ mY⁽²⁾(g, b) ⇔ bY⁽³⁾(g, m) ⇔ (g, m, b)∈ Y.

定义4^[9] 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景, 其中, {i, j, k}={1, 2, 3}且j< k.对于∀ X⊆K_i, Z⊆K_j× K_k, 定义(i)-诱导算子如下:

$\begin{array}{l} X^{(i)}=\left\{\left(a_{j}, a_{k}\right) \in K_{j} \times K_{k} \mid\left(a_{i}, a_{j}, a_{k}\right) \in Y, \forall a_{i} \in X\right\}, \\ Z^{(i)}=\left\{a_{i} \in K_{i} \mid\left(a_{i}, a_{j}, a_{k}\right) \in Y, \forall\left(a_{j}, a_{k}\right) \in Z\right\} . \end{array}$

定义5^[9] 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景, A_i⊆K_i, i=1, 2, 3.若满足

A_i= (Aj×Ak)(i),

其中, {i, j, k}={1, 2, 3}且j< k, 则称(A₁, A₂, A₃)为三元背景K的三元概念, 并称A₁为外延, A₂为内涵, A₃为方式.记K中所有三元概念构成的集合为T(K).

若对于∀ x∈ K_i, 都有

x⁽ⁱ⁾≠ K_j× K_k,

其中, {i, j, k}={1, 2, 3}且j< k, 则称K为正则三元背景.对正则三元背景K, 有^[19]

$\left(K_{1}, K_{2}, \emptyset\right) \in T(K), \left(K_{1}, \emptyset, K_{3}\right) \in T(K), \left(\emptyset, K_{2}, K_{3}\right) \in T(K).$

本文讨论的三元背景都是正则的.

文献[19]提出外延待选集、内涵待选集、方式待选集及基于相应待选集的三元概念构造方法.下面仅给出外延角度的相关定义和结论.

定义6^[19] 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景,

K⁽¹⁾=(K₁, K₂× K₃, Y⁽¹⁾)

为K诱导的形式背景, (X, B)∈ L(K⁽¹⁾), BK3X为(X, B)中B按条件分类的属性集的集合, 称

$E C(X)=\left\{\bigcap_{E \in A} E \mid A \subseteq B_{K_{3}}^{X}, A \neq \emptyset\right\}$

为X的外延待选集.

引理2^[19] 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景,

K⁽¹⁾=(K₁, K₂× K₃, Y⁽¹⁾)

为K诱导的形式背景, (X, B)∈ L(K⁽¹⁾).若

(A×(X×A)(3))(1)=X,

则(X, A, (X× A)⁽³⁾)∈ T(K), 其中A∈ EC(X).

引理3^[19] 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景, (A₁, A₂, A₃)∈ T(K), K⁽¹⁾=(K₁, K₂× K₃, Y⁽¹⁾)为K诱导的形式背景, 则存在(X, B)∈ L(K⁽¹⁾), 使得

(X, A, (X× A)⁽³⁾)=(A₁, A₂, A₃),

其中A∈ EC(X).

为了简单起见, 本文将三元概念中的一般集合表示为其元素的序列.例如:对象子集{1}简写为1, 属性子集{a, d}简写为ad, 条件子集{A, B}简写为AB.

例1表1是一个三元背景K=(K₁, K₂, K₃, Y), 其中, K₁={1, 2, 3}为对象集, K₂={a, b, c, d}为属性集, K₃={A, B, C}为条件集.

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 三元背景K=(K1, K2, K3, Y) Table 1 Triadic context K=(K1, K2, K3, Y) A B C a b c d a b c d a b c d 1 × × × × × × 2 × × × × × 3 × × × × × ×

表1 三元背景K=(K1, K2, K3, Y) Table 1 Triadic context K=(K1, K2, K3, Y)

由定义5得该三元背景的所有三元概念如下:

(12, a, A), (23, c, C), (1, a, ABC), (1, abd, A), (1, ad, AB), (3, b, AB), (3, abd, B), (3, cd, C), (3, d, BC), (13, b, A), (13, ad, B), (2, ac, A), (2, c, ABC), (2, bc, C), (K₁, K₂, Ø ₎, (K₁, Ø , K₃), ₍Ø , K₂, K₃).

该三元背景诱导的形式背景K⁽¹⁾中的形式概念如下:

(12, (a, A)), (23, (c, C)),

(13, (b, A)(a, B)(d, B)),

(1, (a, A)(b, A)(d, A)(a, B)(d, B)(a, C)),

(2, (a, A)(c, A)(c, B)(b, C)(c, C)),

(3, (b, A)(a, B)(b, B)(d, B)(c, C)(d, C)), (K₁, Ø ), (Ø , K₂× K₃).

由定义6知, 外延1对应

BK31={abd, ad, a}, EC(1)={abd, ad, a};

外延3对应

BK33={b, abd, cd}, EC(3)={b, abd, cd, d, Ø }.

当三元背景的对象集、属性集与条件集保持不变时, 增加三元组仅对三元关系进行局部调整.该情况下的三元概念更新核心在于判断原三元背景中的三元概念是否仍为新三元背景的三元概念, 同时识别新增三元组衍生的新三元概念.

定理1 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景, (A₁, A₂, A₃)∈ T(K).若在K上增加对象-属性-条件三元组(a₁, a₂, a₃), a_i∈ K_i, i=1, 2, 3, 即更新后的三元背景为

K'=(K₁, K₂, K₃, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)}),

则(A₁, A₂, A₃)∈ T(K')当且仅当如下3个条件同时成立:

1)若a₁∉A₁, 则存在(y, z)∈ A₂× A₃且(y, z)≠ (a₂, a₃), 使得(a₁, y, z)∉Y;

2)若a₂∉A₂, 则存在(x, z)∈ A₁× A₃且(x, z)≠ (a₁, a₃), 使得(x, a₂, z)∉Y;

3)若a₃∉A₃, 则存在(x, y)∈ A₁× A₂且(x, y)≠ (a₁, a₂), 使得(x, y, a₃)∉Y.

证明 因为(A₁, A₂, A₃)∈ T(K), 由定义5知,

A₁={x∈ K₁|∀ y∈ A₂, ∀ z∈ A₃, (x, y, z)∈ Y},

A₂={y∈ K₂|∀ x∈ A₁, ∀ z∈ A₃, (x, y, z)∈ Y},

A₃={z∈ K₃|∀ x∈ A₁, ∀ y∈ A₂, (x, y, z)∈ Y}.

假设

A'₁={x∈ K₁|∀ y∈ A₂, ∀ z∈ A₃, (x, y, z)∈ Y'},

A'₂={y∈ K₂|∀ x∈ A₁, ∀ z∈ A₃, (x, y, z)∈ Y'},

A'₃={z∈ K₃|∀ x∈ A₁, ∀ y∈ A₂, (x, y, z)∈ Y'},

即(A₁, A₂, A₃)∈ T(K')当且仅当

A'₁=A₁, A'₂=A₂, A'₃=A₃.

必要性.考虑a₁∉A₁的情况.假设(A₁, A₂, A₃)∈ T(K'), 则有A'₁=A₁, 即a₁∉A'₁, 故存在(y, z)∈ A₂× A₃, 使得(a₁, y, z)∉Y'.又因为

Y'=Y∪ {(a₁, a₂, a₃)}

且

(a₁, y, z)≠ (a₁, a₂, a₃),

因此(y, z)≠ (a₂, a₃)且(a₁, y, z)∉Y, 即条件1) 成立.条件2)、3) 同理可证.

充分性.下证A'₁=A₁.因为Y⊆Y', 显然有A₁⊆A'₁, 故只需证A'₁⊆A₁.任取x∈ A'₁, 假设x∉A₁, 则必有x=a₁且a₁∉A₁.由条件1)可知, 存在(y, z)∈ A₂× A₃且

(y, z)≠ (a₂, a₃),

使得(a₁, y, z)∉Y.又因为

(a₁, y, z)≠ (a₁, a₂, a₃),

所以(a₁, y, z)∉Y', 与a₁∈ A'₁矛盾.因此A'₁⊆A₁.同理可证

A'₂=A₂, A'₃=A₃.

综上所述, (A₁, A₂, A₃)∈ T(K')当且仅当条件1)、2)、3) 同时成立.

定理1给出更新三元背景后三元概念保持不变的充要条件, 明确三元背景K=(K₁, K₂, K₃, Y)增加三元组(a₁, a₂, a₃), a_i∈ K_i, i=1, 2, 3时, 原三元背景上的三元概念(A₁, A₂, A₃)在新三元背景

K'=(K₁, K₂, K₃, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)})

中保持不变的判定准则.

记K'中包含三元组(a₁, a₂, a₃)的三元概念的集合:

X={(A₁, A₂, A₃)∈ T(K')|a_i∈ A_i, i=1, 2, 3}.

定理2 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景, 若在K上增加对象-属性-条件三元组(a₁, a₂, a₃), a_i∈ K_i, i=1, 2, 3, 则更新后的三元背景为

K'=(K₁, K₂, K₃, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)}).

对于任意满足

$\left\{a_{1}\right\}^{(1)^{\prime}(1)^{\prime}} \subseteq X \subseteq\left\{\left(a_{2}, a_{3}\right)\right\}^{(1)^{\prime}}$

且X=X^(1)'(1)'的集合X, 若

$\left(A^{\prime} \times\left(X \times A^{\prime}\right)^{(3)^{\prime}}\right)^{(1)^{\prime}}=X, $

则

(X, A', (X× A')^(3)')∈ T(K'),

其中A'∈ EC'(X).记I 为满足上述条件的三元概念全体, 则有X⊆I.

证明 因为

X=X^(1)'(1)',

所以(X, X^(1)')∈ L(K'⁽¹⁾).由引理2可得, 若

$\left(A^{\prime} \times\left(X \times A^{\prime}\right)^{(3)^{\prime}}\right)^{(1)^{\prime}}=X\left(A^{\prime} \in E C^{\prime}(X)\right), $

则

(X, A', (X× A')^(3)')∈ T(K').

取(A₁, A₂, A₃)∈ T(K')且满足a_i∈ A_i, i=1, 2, 3.由于

A₁= (A2×A3)(1)',

因此有

$\begin{aligned} \left\{a_{1}\right\}^{(1)^{\prime}(1)^{\prime}} \subseteq & \left(A_{2} \times A_{3}\right)^{(1)^{\prime}(1)^{\prime}(1)^{\prime}}= \\ & \left(A_{2} \times A_{3}\right)^{(1)^{\prime}} \subseteq\left\{\left(a_{2}, a_{3}\right)\right\}^{(1)^{\prime}}, \end{aligned}$

即

$\left\{a_{1}\right\}^{(1)^{\prime}(1)^{\prime}} \subseteq A_{1} \subseteq\left\{\left(a_{2}, a_{3}\right)\right\}^{(1)^{\prime}}$.

又由于(A₁, A₂, A₃)∈ T(K'), 因此有A₁= A1(1)'(1)', 即证X⊆I.

定理2给出三元背景K=(K₁, K₂, K₃, Y)中增加三元组(a₁, a₂, a₃), a_i∈ K_i, i=1, 2, 3时, 三元概念新增的情况, 且K'中所有包含三元组(a₁, a₂, a₃)的三元概念的集合为该定理确定的三元概念集合的子集.

因为K'只在K的基础上新增一个三元组(a₁, a₂, a₃), 所以新增的三元概念都必然包含该三元组.因此, 定理1和定理2确保该更新方法的完备性, 即可获取K'中的全部三元概念.

例2(续例1) 表2是表1增加对象-属性-条件三元组(3, d, A)后的三元背景

K'=(K₁, K₂, K₃, Y∪ {(3, d, A)}),

其中新增的三元组使用下划线标注.

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 三元背景K'=(K1, K2, K3, Y∪ {(3, d, A)}) Table 2 Triadic context K'=(K1, K2, K3, Y∪ {(3, d, A)}) A B C a b c d a b c d a b c d 1 × × × × × × 2 × × × × × 3 × ×¯ × × × × ×

表2 三元背景K'=(K1, K2, K3, Y∪ {(3, d, A)}) Table 2 Triadic context K'=(K1, K2, K3, Y∪ {(3, d, A)})

令

(A₁, A₂, A₃)=(13, ad, B)∈ T(K),

显然3∈ {1, 3}且d∈ {a, d}, 则定理1中条件1)、2) 自动成立, 又A∉{B}, 存在

(3, a)∈ {1, 3}× {a, d}

且

(3, a)≠ (3, d),

使得(3, a, A)∉Y, 则定理1中条件3) 成立, 故由定理1知(13, ad, B)∈ T(K').同理可得

$\begin{array}{l} (12, a, A), (23, c, C), (1, a, A B C), \\ (1, a b d, A), (1, a d, A B), (3, a b d, B), \\ (3, c d, C), (2, a c, A), (2, c, A B C), \\ (2, b c, C), \left(K_{1}, K_{2}, \emptyset\right), \left(K_{1}, \emptyset, K_{3}\right), \\ \left(\emptyset, K_{2}, K_{3}\right) \end{array}$

仍是新三元背景K'的三元概念.

本例中

$\begin{array}{l} \left\{a_{1}\right\}^{(1)^{\prime}(1)^{\prime}}=\{3\}^{(1)^{\prime}(1)^{\prime}}=\{3\}, \\ \left\{\left(a_{2}, a_{3}\right)\right\}^{(1)^{\prime}}=\{(d, A)\}^{(1)^{\prime}}=\{1, 3\}, \end{array}$

因此

{3}⊆X⊆{1, 3}.

令

X₁={3}, X₂={1, 3},

此时

X₁= X1(1)'(1)', X₂= X2(1)'(1)'.

由K'诱导的形式背景

K'⁽¹⁾=(K₁, K₂× K₃, Y⁽¹⁾∪ {(3, (d, A))})

上外延为X₁、X₂的形式概念分别为

(3, (b, A)(d, A)(a, B)(b, B)(d, B)(c, C)(d, C)), (13, (b, A)(d, A)(a, B)(d, B)),

则

$\begin{array}{l} E C^{\prime}\left(X_{1}\right)=\{b d, a b d, c d, d\}, \\ E C^{\prime}\left(X_{2}\right)=\{b d, a d, d\}, \end{array}$

由定理2有

{(3, bd, AB), (3, abd, B), (3, cd, C), (3, d, ABC)}⊆T(K'),

同理

{(13, bd, A), (13, ad, B), (13, d, AB)}⊆T(K').

因此新三元背景

K'=(K₁, K₂, K₃, Y∪ {(3, d, A)})

的所有三元概念如下:

$\begin{array}{l} (12, a, A), (23, c, C), (1, a, A B C), (1, a b d, A), \\ (1, a d, A B), (3, b d, A B), (3, a b d, B), (3, c d, C), \\ (3, d, A B C), (13, b d, A), (13, a d, B), (13, d, A B), \\ (2, a c, A), (2, c, A B C), (2, b c, C), \left(K_{1}, K_{2}, \emptyset\right), \\ \left(K_{1}, \emptyset, K_{3}\right), \left(\emptyset, K_{2}, K_{3}\right) . \end{array}$

定理2从外延待选集出发, 给出增加三元组(a₁, a₂, a₃), a_i∈ K_i, i=1, 2, 3时, 三元概念新增的判定方法, 由于K₁、K₂和K₃在三元背景上地位的平等性, 故也可从内涵待选集和方式待选集出发, 考虑三元概念的新增.下面定理3和定理4的证明与定理2的证明类似, 故省略.

定理3 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景.若在K上增加对象-属性-条件三元组(a₁, a₂, a₃), a_i∈ K_i, i=1, 2, 3, 即更新后的三元背景

K'=(K₁, K₂, K₃, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)}).

对于任意满足

$\left\{a_{2}\right\}^{(2)^{\prime}(2)^{\prime}} \subseteq X \subseteq\left\{\left(a_{1}, a_{3}\right)\right\}^{(2)^{\prime}}$

且X=X^(2)'(2)'的集合X, 若

$\left(\left(X \times A^{\prime}\right)^{(1)^{\prime}} \times A^{\prime}\right)^{(2)^{\prime}}=X, $

则

((X× A')^(1)', X, A')∈ T(K'),

其中A'∈ IC'(X).记I为满足上述条件的三元概念全体, 则有X⊆I.

定理4 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景.若在K上增加对象-属性-条件三元组(a₁, a₂, a₃), a_i∈ K_i, i=1, 2, 3, 即更新后的三元背景

K'=(K₁, K₂, K₃, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)}).

对于任意满足

$\left\{a_{3}\right\}^{(3)^{\prime}(3)^{\prime}} \subseteq X \subseteq\left\{\left(a_{1}, a_{2}\right)\right\}$

且X=X^(3)'(3)'的集合X, 若

$\left(A^{\prime} \times\left(A^{\prime} \times X\right)^{(2)^{\prime}}\right)^{(3)^{\prime}}=X, $

则

(A', (A'× X)^(2)', X)∈ T(K'),

其中A'∈ MC'(X).记I为满足上述条件的三元概念全体, 则有X⊆I.

本节讨论类型1, 即K₁、K₂、K₃保持不变(a₁∈ K₁, a₂∈ K₂, a₃∈ K₃)时三元概念的更新.该类型下对象集、属性集与条件集均不发生扩张, 仅对三元关系进行局部调整.其中, 定理1用于判断原三元概念是否保留, 定理2~定理4从不同角度给出新增三元概念的生成依据.

三元背景中增加对象-属性-条件三元组引发单维度扩展时, 诱导的形式背景中的二元对也会产生相应的变化, 并且待选集也会相应改变.因此, 本节从诱导的形式背景的形式概念的更新出发, 考虑由其引起的待选集的更新, 进而探讨三元背景变化时三元概念的更新.

性质2 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景, 在K上增加对象-属性-条件三元组(a₁, a₂, a₃), 更新后的三元背景记为K'=(K'₁, K'₂, K'₃, Y').若a_i∉K_i, a_j∈ K_j, a_k∈ K_k, 其中

{i, j, k}={1, 2, 3}

且j< k, 则对于∀ A_i⊆K_i, A_j⊆K_j, A_k⊆K_k, 有

$\begin{array}{l} A_{i}^{(i)}=A_{i}^{(i)^{\prime}}, \\ \left(A_{i} \times A_{k}\right)^{(j)}=\left(A_{i} \times A_{k}\right)^{(j)^{\prime}}, \\ \left(A_{i} \times A_{j}\right)^{(k)}=\left(A_{i} \times A_{j}\right)^{(k)^{\prime}}, \\ \left\{a_{i}\right\}^{(i)^{\prime}}=\left\{\left(a_{j}, a_{k}\right)\right\}, \\ \left\{\left(a_{j}, a_{k}\right)\right\}^{(i)^{\prime}}=\left\{\left(a_{j}, a_{k}\right)\right\}^{(i)} \cup\left\{a_{i}\right\} . \end{array}$

证明 设i=2, j=1, k=3, 则

K'=(K₁, K₂∪ {a₂}, K₃, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)}).

先证 A2(2)= A2(2)'.由定义4知

$\begin{array}{l} A_{2}^{(2)}=\left\{\left(b_{1}, b_{3}\right) \in K_{1} \times K_{3} \mid \forall x \in A_{2}, \left(b_{1}, x, b_{3}\right) \in Y\right\}, \\ A_{2}^{(2)^{\prime}}=\left\{\left(b_{1}, b_{3}\right) \in K_{1} \times K_{3} \mid \forall x \in A_{2}, \left(b_{1}, x, b_{3}\right) \in Y^{\prime}\right\} . \end{array}$

由于对∀ x∈ A₂⊆K₂, 有x≠ a₂, 因此

$\forall x \in A_{2}, \left(b_{1}, x, b_{3}\right) \in Y^{\prime} \Leftrightarrow \forall x \in A_{2}, \left(b_{1}, x, b_{3}\right) \in Y, $

故

A⁽²⁾₂ =A^(2)'₂ .

同理可证,

$\begin{array}{l} \left(A_{2} \times A_{3}\right)^{(1)}=\left(A_{2} \times A_{3}\right)^{(1)^{\prime}}, \\ \left(A_{1} \times A_{2}\right)^{(3)}=\left(A_{1} \times A_{2}\right)^{(3)^{\prime}} . \end{array}$

由于a₂为新增属性, 即Y'中第二分量为a₂的三元组仅有(a₁, a₂, a₃), 由此可得

$\begin{array}{l} \left\{a_{2}\right\}^{(2)^{\prime}}=\left\{\left(a_{1}, a_{3}\right)\right\}, \\ \left\{\left(a_{1}, a_{3}\right)\right\}^{(2)^{\prime}}=\left\{\left(a_{1}, a_{3}\right)\right\}^{(2)} \cup\left\{a_{2}\right\} . \end{array}$

性质2给出三元背景K=(K₁, K₂, K₃, Y)增加三元组(a₁, a₂, a₃)(仅存在一个分量不属于相应K_i(i=1, 2, 3)时, 原三元背景与新三元背景诱导算子之间的关系.

当三元背景K=(K₁, K₂, K₃, Y)增加三元组(a₁, a₂, a₃), a₁∈ K₁, a₂∉K₂, a₃∈ K₃时, 由定义6和引理1可知, K⁽¹⁾中形式概念(X, B)对应的| BK3X|保持不变, 且外延不会发生改变, 因此在K⁽¹⁾上分析该情况, 选取外延待选集作为判断依据.

当正则三元背景K=(K₁, K₂, K₃, Y)增加三元组(a₁, a₂, a₃), a₁∈ K₁, a₂∉K₂, a₃∈ K₃时, 三元背景的正则性不发生改变.因此, 可先考虑K上含空集的三元概念的更新, 即(K₁, K₂, Ø )更新为(K₁, K₂∪ {a₂}, Ø ), (K₁, Ø , K₃)仍是新三元背景的三元概念, (Ø , K₂, K₃)更新为(Ø , K₂∪ {a₂}, K₃).

定理5 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景.若在K上增加对象-属性-条件三元组(a₁, a₂, a₃), a₁∈ K₁, a₂∉K₂, a₃∈ K₃, 即更新后的三元背景

K'=(K₁, K₂∪ {a₂}, K₃, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)}),

则对于∀ (A₁, A₂, A₃)∈ T(K), A_i≠ Ø , i=1, 2, 3, 下列结论成立:

1)若A₁≠ {a₁}, 则(A₁, A₂, A₃)∈ T(K');

2)若A₁={a₁}且

$\left(A^{\prime} \times\left(A_{1} \times A^{\prime}\right)^{(3)^{\prime}}\right)^{(1)^{\prime}}=A_{1}, A^{\prime} \in E C^{\prime}\left(A_{1}\right), $

则

$\left(A_{1}, A^{\prime}, \left(A_{1} \times A^{\prime}\right)^{(3)^{\prime}}\right) \in T\left(K^{\prime}\right)$

3)$\left(a_{1}, \left(\left\{a_{1}\right\} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(2)^{\prime}}, a_{3}\right) \in T\left(K^{\prime}\right) .$

证明 取(A₁, A₂, A₃)∈ T(K), A_i≠ Ø , i=1, 2, 3, 则由引理3可知, 存在(X, B)∈ L(K⁽¹⁾), 使得

(X, A, (X× A)⁽³⁾)=(A₁, A₂, A₃),

其中A∈ EC(X).

1)因为A₁≠ {a₁}, 所以X≠ {a₁}.根据引理1, 有(X, B)∈ L(K'⁽¹⁾), 即

B 'K3X= BK3X, EC'(X)=EC(X),

故有A∈ EC'(X).由性质2知

$\left(A \times(X \times A)^{(3)^{\prime}}\right)^{(1)^{\prime}}=\left(A \times(X \times A)^{(3)}\right)^{(1)}=X, $

因此根据引理2, 有

(X, A, (X× A)^(3)')=(A₁, A₂, A₃)∈ T(K').

2)因为A₁={a₁}, 所以X={a₁}.根据引理1, 有

(X, B∪ {(a₂, a₃)})∈ L(K'⁽¹⁾).

若

$\left(A^{\prime} \times\left(X \times A^{\prime}\right)^{(3)^{\prime}}\right)^{(1)^{\prime}}=X, $

其中A'∈ EC'(X), 则有

$\begin{array}{l} \left(X, A^{\prime}, \left(X \times A^{\prime}\right)^{(3)^{\prime}}\right)= \left(A_{1}, A^{\prime}, \left(A_{1} \times A^{\prime}\right)^{(3)^{\prime}}\right) \in T\left(K^{\prime}\right) . \end{array}$

3)要证

$\left(a_{1}, \left(\left\{a_{1}\right\} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(2)^{\prime}}, a_{3}\right) \in T\left(K^{\prime}\right), $

需证

$\begin{array}{l} \left\{a_{1}\right\}=\left(\left(\left\{a_{1}\right\} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(2)^{\prime}} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(1)^{\prime}}, \\ \left\{a_{3}\right\}=\left(\left\{a_{1}\right\} \times\left(\left\{a_{1}\right\} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(2)^{\prime}}\right)^{(3)^{\prime}}, \end{array}$

其中

$\begin{array}{l} \left(\left(\left\{a_{1}\right\} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(2)^{\prime}} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(1)^{\prime}}= \\ \left(\left(\left(\left\{a_{1}\right\} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(2)} \cup\left\{a_{2}\right\}\right) \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(1)^{\prime}}= \\ \left(\left(\left\{a_{1}\right\} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(2)} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(1)^{\prime}} \cap\left(\left\{a_{2}\right\} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(1)^{\prime}}= \\ \left(\left(\left\{a_{1}\right\} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(2)} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(1)} \cap\left\{a_{1}\right\}=\left\{a_{1}\right\} \end{array}$

同理可证

$\left\{a_{3}\right\}=\left(\left\{a_{1}\right\} \times\left(\left\{a_{1}\right\} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(2)^{\prime}}\right)^{(3)^{\prime}} .$

定理5给出三元背景K=(K₁, K₂, K₃, Y)增加三元组(a₁, a₂, a₃), a₁∈ K₁, a₂∉K₂, a₃∈ K₃时三元概念的更新规律.若原三元背景上的三元概念(A₁, A₂, A₃)的外延不等于{a₁}, 则该三元概念仍是新三元背景

K'=(K₁, K₂∪ {a₂}, K₃, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)})

的三元概念; 若原三元背景上的三元概念(A₁, A₂, A₃)的外延等于{a₁}, 则该三元概念的更新如定理5中2) 所示; 若原三元背景中不存在外延为{a₁}的三元概念, 则更新后的三元背景新增外延为{a₁}的三元概念.

定理5虽给出该情况下的三元概念更新方法, 但当A₁={a₁}时, 需逐个判断A₁在新三元背景下的外延待选集上的元素A'是否满足

$\left(A^{\prime} \times\left(A_{1} \times A^{\prime}\right)^{(3)^{\prime}}\right)^{(1)^{\prime}}=A_{1}, $

其过程较复杂.为了简化判定流程、优化更新方法, 给出如下性质3.

为了简便, 对于单点集{x}, 本文将 BK3{x}和B 'K3{x}简写为 BK3x和B 'K3x, EC({x})和EC'({x})简写为EC(x)和EC'(x).

性质3 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景.若在K上增加对象-属性-条件三元组(a₁, a₂, a₃), a₁∈ K₁, a₂∉K₂, a₃∈ K₃, 即更新后的三元背景

K'=(K₁, K₂∪ {a₂}, K₃, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)}),

则对于∀ (A₁, A₂, A₃)∈ T(K), A_i≠ Ø , i=1, 2, 3, 若A₁={a₁}, 有

EC'(a₁)= EC(a1)⋃{Ba3a1⋃{a2}}, ∃E∈BK3a1\{Ba3a1}, ∋Ba3a1⊆E(EC(a1)\{Ba3a1})⋃{Ba3a1⋃{a2}}, 其它

进一步地,

|EC'(a₁)|= EC(a1)+1, ∃E∈BK3a1\{Ba3a1}, ∋Ba3a1⊆EEC(a1), 其它

其中 Ba3a1为 BK3a1中条件a₃对应的属性集合.

证明 考虑属性集K₂, 则有 BK3a1⊆P(K₂)且

B 'K3a1=( BK3a1\{ Ba3a1})∪ { Ba3a1∪ {a₂}},

其中, a₂∉K₂, Ba3a1为 BK3a1中条件a₃对应的属性集合.令

B= Ba3a1∪ {a₂}.

首先, 对于∀ a∈ EC(a₁)\{ Ba3a1}, 存在非空集合A⊆ BK3a1, 使得a=∩ A.若 Ba3a1∉A, 则A⊆B 'K3a1, 所以a∈ EC'(a₁).若 Ba3a1∈ A, 则

A={ Ba3a1}∪ A₀

且A₀≠ Ø .取

A'={B}∪ A₀⊆B 'K3a1,

则有

∩ A'=B∩ (∩ A₀)= Ba3a1∩ (∩ A₀)=a,

所以a∈ EC'(a₁), 因此

EC(a₁)\{ Ba3a1}⊆EC'(a₁).

由定义6可知B∈ EC'(a₁).

其次, 对于∀ A'⊆B 'K3a1, 考虑∩ A'.根据B 'K3a1的构造, ∩ A'的可能形式为:B、 Ba3a1∩ S、S, 其中

S= ∩E∈AE(A⊆ BK3a1\{ Ba3a1}, A≠ Ø ).

由于B、 Ba3a1∩ S、S均属于EC(a₁)∪ {B}, 因此

EC'(a₁)⊆EC(a₁)∪ {B}.

若存在E∈ BK3a1\{ Ba3a1}, 使得 Ba3a1⊆E, 则取A'={B, E}, 可得

$\begin{aligned} \cap A^{\prime}= & B \cap E=\left(B_{a_{3}}^{a_{1}} \cup\left\{a_{2}\right\}\right) \cap E= \\ & B_{a_{3}}^{a_{1}} \cap E=B_{a_{3}}^{a_{1}}, \end{aligned}$

即

Ba3a1∈ EC'(a₁),

因此

EC(a₁)∪ {B}⊆EC'(a₁),

此时

EC'(a₁)=EC(a₁)∪ {B}.

若不存在E∈ BK3a1\{ Ba3a1}, 使得

Ba3a1⊆E,

则有 Ba3a1∉EC'(a₁).结合

EC(a₁)\{ Ba3a1}⊆EC'(a₁)⊆EC(a₁)∪ {B}, B∈ EC'(a1₎,

可得

EC'(a₁)=(EC(a₁)\{ Ba3a1})∪ {B}.

综上所述,

EC'(a₁)= EC(a1)⋃{Ba3a1⋃{a2}}, ∃E∈BK3a1\{Ba3a1}, ∋Ba3a1⊆E(EC(a1)\{Ba3a1})⋃{Ba3a1⋃{a2}}, 其它

性质3给出三元背景K=(K₁, K₂, K₃, Y)增加三元组(a₁, a₂, a₃), a₁∈ K₁, a₂∉K₂, a₃∈ K₃时, 外延为{a₁}的三元概念更新前后对应的外延待选集之间的关系.

定理6 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景.若在K上增加对象-属性-条件三元组(a₁, a₂, a₃), a₁∈ K₁, a₂∉K₂, a₃∈ K₃, 即更新后的三元背景

K'=(K₁, K₂∪ {a₂}, K₃, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)}),

对于∀ (A₁, A₂, A₃)∈ T(K), A_i≠ Ø , i=1, 2, 3, 下列结论成立:

1)若A₁≠ {a₁}, 则(A₁, A₂, A₃)∈ T(K').

2)若A₁={a₁}, 则当A₂≠ Ba3a1时, 有(A₁, A₂, A₃)∈ T(K'); 当A₂= Ba3a1时, 若

|EC'(a₁)|=|EC(a₁)|,

则有

(A₁, A₂∪ {a₂}, a₃)∈ T(K'),

否则,

(A₁, A₂, A₃)∈ T(K')

且

(A₁, A₂∪ {a₂}, a₃)∈ T(K');

其中 Ba3a1为 BK3a1中条件a₃对应的属性集合.

3)$\left(a_{1}, \left(\left\{a_{1}\right\} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(2)^{\prime}}, a_{3}\right) \in T\left(K^{\prime}\right) .$

证明 1)、3) 在定理5中已证, 下证2).

取(A₁, A₂, A₃)∈ T(K), A_i≠ Ø , i=1, 2, 3, 则由引理3, 存在(X, B)∈ L(K⁽¹⁾), 使得

(X, A, (X× A)⁽³⁾)=(A₁, A₂, A₃),

其中A∈ EC(X).

首先, 当

A₂=A≠ Ba3a1

时, 由性质3可得, A∈ EC'(a₁), 又A⊆K₂, 则有

$\begin{array}{l} \left(A \times\left(\left\{a_{1}\right\} \times A\right)^{(3)^{\prime}}\right)^{(1)^{\prime}}= \\ \quad\left(A \times\left(\left\{a_{1}\right\} \times A\right)^{(3)}\right)^{(1)}=\left\{a_{1}\right\}, \end{array}$

因此(A₁, A₂, A₃)∈ T(K').

其次, 当

A₂=A= Ba3a1

时, 若

|EC'(a₁)|=|EC(a₁)|,

令

A'= Ba3a1∪ {a₂}=A₂∪ {a₂},

由性质3可得, A'∈ EC'(a₁).下证

((A₂∪ {a₂})× ({a₁}× (A₂∪ {a₂}))^(3)')^(1)'={a₁}.

由于

A₂= Ba3a1≠ Ø ,

则对于∀ b∈ A₂, 有(a₁, b, a₃)∈ Y, 所以,

a₃∈ ({a1}×A2)(3)=A₃.

因此

$\begin{aligned} \left(\left\{a_{1}\right\} \times\right. & \left.\left(A_{2} \cup\left\{a_{2}\right\}\right)\right)^{(3)^{\prime}}= \\ & \left(\left\{a_{1}\right\} \times A_{2}\right)^{(3)^{\prime}} \cap\left(\left\{a_{1}\right\} \times\left\{a_{2}\right\}\right)^{(3)^{\prime}}= \\ & A_{3} \cap\left\{a_{3}\right\}=\left\{a_{3}\right\}, \end{aligned}$

此时

$\begin{array}{l} \left(\left(A_{2} \cup\left\{a_{2}\right\}\right) \times\left(\left\{a_{1}\right\} \times\left(A_{2} \cup\left\{a_{2}\right\}\right)\right)^{(3)^{\prime}}\right)^{(1)^{\prime}}= \\ \left(\left(A_{2} \cup\left\{a_{2}\right\}\right) \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(1)^{\prime}}= \\ \left(A_{2} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(1)^{\prime}} \cap\left(\left\{a_{2}\right\} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(1)^{\prime}}= \\ \left(A_{2} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(1)} \cap\left\{a_{1}\right\}=\left\{a_{1}\right\} . \end{array}$

由引理2可得

$\begin{aligned} \left(a_{1}, A_{2} \cup\right. & \left.\left\{a_{2}\right\}, a_{3}\right)= \left(A_{1}, A_{2} \cup\left\{a_{2}\right\}, a_{3}\right) \in T\left(K^{\prime}\right) . \end{aligned}$

若

|EC'(a₁)|≠ |EC(a₁)|,

由性质3可得A∈ EC'(a₁), 因此, (A₁, A₂, A₃)∈ T(K'), 且同理可得,

(A₁, A₂∪ {a₂}, a₃)∈ T(K').

定理6优化定理5中A₁={a₁}时三元概念的更新方法, 即通过判断A₂与 Ba3a1的关系及|EC'(a₁)|与|EC(a₁)|是否相等, 进而降低计算复杂度.

文献[11]指出, 引理1给出的(G, M, I)上增加对象-属性二元对(h, n), h∈ G, n∉M时, 形式概念的更新方法是完备的, 且由引理2和引理3可得三元背景诱导的形式背景的形式概念及待选集与其三元概念之间存在双射.因此, 定理6的更新方法具有完备性, 即可获取K'中的全部三元概念.

例3(续例1) 表3是表1增加对象-属性-条件三元组(1, e, A)后的三元背景

K'=(K₁, K₂∪ {e}, K₃, Y∪ {(1, e, A)}),

其中新增的三元组用下划线标注.

表3

Table 3

表3(Table 3)

表3 三元背景K'=(K1, K2∪ {e}, K3, Y∪ {(1, e, A)}) Table 3 Triadic context K'=(K1, K2∪ {e}, K3, Y∪ {(1, e, A)}) A B C a b c d e a b c d e a b c d e 1 × × × $\underline{\times }$ × × × 2 × × × × × 3 × × × × × ×

表3 三元背景K'=(K1, K2∪ {e}, K3, Y∪ {(1, e, A)}) Table 3 Triadic context K'=(K1, K2∪ {e}, K3, Y∪ {(1, e, A)})

取

(A₁, A₂, A₃)=(12, a, A)∈ T(K),

显然

{1, 2}≠ {1},

则由定理6中1) 知(12, a, A)∈ T(K').

本例中

{(1, a, ABC), (1, abd, A), (1, ad, AB)}∈ T(K),

即原三元背景K中存在外延为1的三元概念.由K'诱导的形式背景

K'⁽¹⁾=(K₁, (K₂∪ {e})× K₃, Y⁽¹⁾∪ {(1, (e, A))})

上外延为{1}的形式概念为

(1, (a, A)(b, A)(d, A)(e, A)(a, B)(d, B)(a, C)),

则有

B 'K31={abde, ad, a}

且

EC'(1)={abde, ad, a}.

由例1知

Ba3a1= BA1={abd}, EC(1)={abd, ad, a}.

若令

(A₁, A₂, A₃)=(1, a, ABC),

此时A₂≠ BA1, 则由定理6中2)知, (1, a, ABC)∈ T(K'), 同理有(1, ad, AB)∈ T(K'); 若令

(A₁, A₂, A₃)=(1, abd, A),

此时

A₂= BA1

且

|EC'(1)|=|EC(1)|,

则由定理6中2)知

(A₁, A₂∪ {a₂}, {a₃})=(1, abde, A)∈ T(K').

由定理6中3) 知

$\left(a_{1}, \left(\left\{a_{1}\right\} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(2)^{\prime}}, a_{3}\right)=(1, \text { abde }, A) \in T\left(K^{\prime}\right), $

因此新三元背景

K'=(K₁, K₂∪ {e}, K₃, Y∪ {(1, e, A)})

的所有三元概念如下:

(12, a, A), (23, c, C), (1, a, ABC),

(1, abde, A), (1, ad, AB), (3, b, AB),

(3, abd, B), (3, cd, C), (3, d, BC),

(13, b, A), (13, ad, B), (2, ac, A),

(2, c, ABC), (2, bc, C), (K₁, K₂, Ø ₎,

(K₁, Ø , K₃), ₍Ø , K₂, K₃₎.

a₁∈ K₁, a₂∉K₂, a₃∈ K₃时, 从K诱导的形式背景K⁽¹⁾中形式概念的更新出发, 考虑由其引起的外延待选集的更新, 进而探讨三元背景变化时三元概念的更新.由于K₃、K₂在三元背景上地位的平等性, 故将上述方法推广至a₁∈ K₁, a₂∈ K₂, a₃∉K₃的情况.该情况在形式背景K⁽²⁾上进行分析, 并选取内涵待选集作为判断依据.

下面给出定理7、性质4、定理8, 鉴于K₃和K₂的平等性, 相关证明省略.

定理7 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景.若在K上增加对象-属性-条件三元组(a₁, a₂, a₃), a₁∈ K₁, a₂∈ K₂, a₃∉K₃, 即更新后的三元背景

K'=(K₁, K₂, K₃∪ {a₃}, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)}),

则对于∀ (A₁, A₂, A₃)∈ T(K), A_i≠ Ø , i=1, 2, 3, 下列结论成立:

1)若A₂≠ {a₂}, 则(A₁, A₂, A₃)∈ T(K');

2)若A₂={a₂}且

$\left(\left(A_{2} \times A^{\prime}\right)^{(1)^{\prime}} \times A^{\prime}\right)^{(2)^{\prime}}=A_{2}, A^{\prime} \in I C^{\prime}\left(A_{2}\right), $

则

$\left(\left(A_{2} \times A^{\prime}\right)^{(1)^{\prime}}, A_{2}, A^{\prime}\right) \in T\left(K^{\prime}\right) ; $

3)$\left(a_{1}, a_{2}, \left(\left\{a_{1}\right\} \times\left\{a_{2}\right\}\right)^{(3)^{\prime}}\right) \in T\left(K^{\prime}\right) .$

性质4 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景.若在K上增加对象-属性-条件三元组(a₁, a₂, a₃), a₁∈ K₁, a₂∈ K₂, a₃∉K₃, 即更新后的三元背景

K'=(K₁, K₂, K₃∪ {a₃}, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)}),

则对于∀ (A₁, A₂, A₃)∈ T(K), A_i≠ Ø , i=1, 2, 3, 若A₂={a₂}, 则有

IC'(a₂)= IC(a2)⋃{Ba1a2⋃{a3}}, ∃E∈BK1a2\{Ba1a2}, ∋Ba1a2⊆E(IC(a2)\{Ba1a2})⋃{Ba1a2⋃{a3}}, 其它

进一步地,

IC'(a2)= |IC(a2)|+1, ∃E∈BK1a2\{Ba1a2}, ∋Ba1a2⊆E|IC(a2)|, 其它

其中 Ba1a2为 BK1a2中对象a₁对应的条件集合.

定理8 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景.若在K上增加对象-属性-条件三元组(a₁, a₂, a₃), a₁∈ K₁, a₂∈ K₂, a₃∉K₃, 即更新后的三元背景

K'=(K₁, K₂, K₃∪ {a₃}, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)}),

则对于∀ (A₁, A₂, A₃)∈ T(K), A_i≠ Ø , i=1, 2, 3, 下列结论成立:

1)若A₂≠ {a₂}, 则(A₁, A₂, A₃)∈ T(K').

2)若A₂={a₂}, 则当A₃≠ Ba1a2时, 有(A₁, A₂, A₃)∈ T(K'); 当A₃= Ba1a2时, 若

|IC'(a₂)|=|IC(a₂)|,

则有

(a₁, A₂, A₃∪ {a₃})∈ T(K'),

否则(A₁, A₂, A₃)∈ T(K')且

(a₁, A₂, A₃∪ {a₃})∈ T(K');

其中 Ba1a2为 BK1a2中对象a₁对应的条件集合.

3)$\left(a_{1}, a_{2}, \left(\left\{a_{1}\right\} \times\left\{a_{2}\right\}\right)^{(3)^{\prime}}\right) \in T\left(K^{\prime}\right) .$

定理7给出在三元背景上添加三元组(a₁, a₂, a₃), a₁∈ K₁, a₂∈ K₂, a₃∉K₃时三元概念的更新方法.在此基础上, 性质4给出更新前后内涵待选集之间的关系.定理8进一步优化三元概念的更新方法.

由于引理1中(G, M, I)上增加对象-属性二元对(h, n), h∈ G, n∉M时, 形式概念更新方法的完备性、三元背景诱导的形式背景的形式概念及待选集与其三元概念之间存在双射, 因此, 定理8的更新方法是完备的, 即可获取K'中的全部三元概念.

类似地, 由于K₁和K₂在三元背景上地位的平等性, 将该更新方法推广至a₁∉K₁, a₂∈ K₂, a₃∈ K₃的情况上.该情况在形式背景K⁽³⁾上进行分析, 并选取方式待选集作为判断依据.

下面给出定理9、性质5、定理10, 鉴于K₁和K₂的平等性, 相关证明省略.

定理9 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景.若在K上增加对象-属性-条件三元组(a₁, a₂, a₃), a₁∉K₁, a₂∈ K₂, a₃∈ K₃, 即更新后的三元背景

K'=(K₁∪ {a₁}, K₂, K₃, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)}),

则对于∀ (A₁, A₂, A₃)∈ T(K), A_i≠ Ø , i=1, 2, 3, 下列结论成立:

1)若A₃≠ {a₃}, 则(A₁, A₂, A₃)∈ T(K');

2)若A₃={a₃}且

(A'×(A'×A3)(2)')(3)'=A₃, A'∈ MC'(A₃),

则

(A', (A'×A3)(2)', A₃)∈ T(K');

3)$\left(\left(\left\{a_{2}\right\} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(1)^{\prime}}, a_{2}, a_{3}\right) \in T\left(K^{\prime}\right) .$

性质5 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景.若在K上增加对象-属性-条件三元组(a₁, a₂, a₃), a₁∉K₁, a₂∈ K₂, a₃∈ K₃, 即更新后的三元背景

K'=(K₁∪ {a₁}, K₂, K₃, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)}),

则对于∀ (A₁, A₂, A₃)∈ T(K), A_i≠ Ø , i=1, 2, 3, 若A₃={a₃}, 则有

MC'(a₃)= MC(a3)⋃{Ba2a3⋃{a1}}, ∃E∈BK2a3\{Ba2a3}, ∋Ba2a3⊆E(MC(a3)\{Ba2a3})⋃{Ba2a3⋃{a1}}, 其它

进一步地,

|MC'(a₃)|= |MC(a3)|+1, ∃E∈BK2a3\{Ba2a3}, ∋Ba2a3⊆E|MC(a3)|, 其它

其中 Ba2a3为 BK2a3中属性a₂对应的对象集合.

定理10 设K=(K₁, K₂, K₃, Y)为三元背景.若在K上增加对象-属性-条件三元组(a₁, a₂, a₃), a₁∉K₁, a₂∈ K₂, a₃∈ K₃, 即更新后的三元背景为

K'=(K₁∪ {a₁}, K₂, K₃, Y∪ {(a₁, a₂, a₃)}),

则对于∀ (A₁, A₂, A₃)∈ T(K), A_i≠ Ø , i=1, 2, 3, 下列结论成立:

1)若A₃≠ {a₃}, 则(A₁, A₂, A₃)∈ T(K').

2)若A₃={a₃}, 则当A₁≠ Ba2a3时, 有(A₁, A₂, A₃)∈ T(K'); 当A₁= Ba2a3时, 若

|MC'(a₃)|=|MC(a₃)|,

则有

(A₁∪ {a₁}, a₂, A₃)∈ T(K'),

否则, (A₁, A₂, A₃)∈ T(K')且

(A₁∪ {a₁}, a₂, A₃)∈ T(K');

其中 Ba2a3为 BK2a3中属性a₂对应的对象集合.

3)$\left(\left(\left\{a_{2}\right\} \times\left\{a_{3}\right\}\right)^{(1)^{\prime}}, a_{2}, a_{3}\right) \in T\left(K^{\prime}\right) .$

定理9给出在三元背景上添加三元组(a₁, a₂, a₃), a₁∉K₁, a₂∈ K₂, a₃∈ K₃时三元概念的更新方法.在此基础上, 性质5给出更新前后方式待选集之间的关系.定理10进一步优化三元概念的更新方法.

类似地, 定理10的更新方法是完备的, 即可获取K'中的全部三元概念.

本节讨论类型2, 即K₁、K₂、K₃单维度扩展时三元概念的更新, 包含

$\begin{array}{l} a_{1} \in K_{1}, a_{2} \notin K_{2}, a_{3} \in K_{3} ; \\ a_{1} \in K_{1}, a_{2} \in K_{2}, a_{3} \notin K_{3} ; \\ a_{1} \notin K_{1}, a_{2} \in K_{2}, a_{3} \in K_{3} \end{array}$ 这3种情形, 更新方法分别由定理6、定理8和定理10给出.

对于

$\begin{array}{l} a_{1} \notin K_{1}, a_{2} \notin K_{2}, a_{3} \in K_{3} ; \\ a_{1} \notin K_{1}, a_{2} \in K_{2}, a_{3} \notin K_{3} ; \\ a_{1} \in K_{1}, a_{2} \notin K_{2}, a_{3} \notin K_{3} ; \\ a_{1} \notin K_{1}, a_{2} \notin K_{2}, a_{3} \notin K_{3} \end{array}$

这4种情况, 由三元概念的定义可知, 新三元背景中包含三元组(a₁, a₂, a₃)的三元概念只有(a₁, a₂, a₃), 因此, 相比原三元背景而言, 除含空集的三元概念外, 新三元背景仅会增加一个新三元概念(a₁, a₂, a₃).

例4(续例1) 表4是表1增加对象-属性-条件三元组(1, e, D)后的三元背景

K'=(K₁, K₂∪ {e}, K₃∪ {D}, Y∪ {(1, e, D)}),

其中新增的三元组用下划线标注.

表4

Table 4

表4(Table 4)

表4 三元背景K'=(K1, K2∪ {e}, K3∪ {D}, Y∪ {(1, e, D)}) Table 4 Triadic context K'=(K1, K2∪ {e}, K3∪ {D}, Y∪ {(1, e, D)}) A B C D a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e 1 × × × × × × $\underline{\times }$ 2 × × × × × 3 × × × × × ×

表4 三元背景K'=(K1, K2∪ {e}, K3∪ {D}, Y∪ {(1, e, D)}) Table 4 Triadic context K'=(K1, K2∪ {e}, K3∪ {D}, Y∪ {(1, e, D)})

由于K'为正则三元背景, 可得K上含空集的三元概念的更新, 即(K₁, K₂, Ø )更新为(K₁, K₂∪ {e}, Ø ), (K₁, Ø , K₃)更新为(K₁, Ø , K₃∪ {D}), (Ø , K₂, K₃)更新为(Ø , K₂∪ {e}, K₃∪ {D}).此外, K'仅会增加一个新三元概念(1, e, D).

因此新三元背景

K'=(K₁, K₂∪ {e}, K₃∪ {D}, Y∪ {(1, e, D)})

的所有三元概念如下:

(12, a, A), (23, c, C), (1, a, ABC), (1, abd, A), (1, ad, AB), (1, e, D), (3, b, AB), (3, abd, B), (3, cd, C), (3, d, BC), (13, b, A), (13, ad, B), (2, ac, A), (2, c, ABC), (2, bc, C), (K1, K2⋃{e}, Ø), (K1, Ø, K3⋃{D}), (Ø, K2⋃{e}, K3⋃{D}).

本节讨论类型3, 即K₁、K₂、K₃多维度扩展时三元概念的更新, 包含

$\begin{array}{l} a_{1} \notin K_{1}, a_{2} \notin K_{2}, a_{3} \in K_{3} ; \\ a_{1} \notin K_{1}, a_{2} \in K_{2}, a_{3} \notin K_{3} ; \\ a_{1} \in K_{1}, a_{2} \notin K_{2}, a_{3} \notin K_{3} ; \\ a_{1} \notin K_{1}, a_{2} \notin K_{2}, a_{3} \notin K_{3} \end{array}$

这4种情形.该类型下的三元概念更新仅需考虑含空集的三元概念, 并增加新三元概念(a₁, a₂, a₃).