首先, 举例指出现有知识空间模型存在的局限性, 以此说明引入三支概念分析思想的必要之处.

例1 表1的二值技能形式背景Π 呈现微分知识中不同题型与所需解题技能之间的关系.表中q₁表示求解简单初等函数(如多项式)的导数, q₂表示求解复合函数的导数, q₃表示求解隐函数的导数, q₄表示求解参数方程确定函数的导数, q₅表示求解高阶导数, 技能s₁表示掌握导数定义与极限计算, s₂表示掌握基本初等函数求导公式, s₃表示掌握四则运算法则, s₄表示掌握复合函数求导法则(链式法则).

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 例1的二值技能形式背景Π Table 1 Binary skill formal context Π of Example 1 s1 s2 s3 s4 q1 0 1 1 0 q2 1 0 1 1 q3 0 1 0 0 q4 0 0 1 0 q5 0 0 1 0

表1 例1的二值技能形式背景Π Table 1 Binary skill formal context Π of Example 1

技能形式背景Π 在析取模型下存在6个知识状态:

{q₁, q₂, q₃, q₄, q₅}, {q₁, q₂, q₄, q₅}, {q₁, q₂, q₃}, {q1_, q3_}, {q2_}, Ø .

通过进一步研究可发现:一些有意义的知识状态并不能由此析取模型生成.

例如:状态{q₂, q₃}表示学生能解决复合函数和隐函数求导问题, 但该状态在析取模型中无法生成, 但这个状态在微分学习中具有实际意义.因此, 需依据应用场景对现有析取模型予以改良与拓展, 并基于三支概念分析思想, 构建面向三支视角的知识空间模型.

定义1 令τ (q)表示能解决问题q的所有技能.T₁⊆S, T₂⊆S, T₁、T₂在析取模型与三支视角下确定的知识状态记为

K_T={q∈ Q|(τ (q)∩ T₁≠ Ø )∨ ((S-τ (q))∩ T2_≠ Ø )}.

记遍历S的子集确定的知识状态构成的集族为K_T, 并称K_T为三支视角下的知识空间, 分别简称为三支知识空间与三支知识状态.

例2 (续例1) 在析取模型与三支视角下, {s₁, s₄}, {s₃}确定的知识状态为{q₂, q₃}, 这恰好弥补例1中缺失的状态.此外, 在析取模型与三支视角下还可确定知识状态{q₃}, {q₂, q₄, q₅}, {q₂, q₃, q₄, q₅}和{q₁, q₃, q₄, q₅}.这些状态可对应学生掌握不同技能组合时具备的解题能力.显然, 融入三支视角的析取模型可解决例1中提出的问题.

模糊技能形式背景是知识结构分析中的一个重要概念, 是指在技能与问题之间存在的模糊关系.这种模糊性源于技能描述的多样性、问题定义的复杂性及技能与问题之间关联的不确定性.在模糊技能形式背景下, 技能与问题之间的关系不再是简单的二值关系(即存在或不存在), 而是表现为一种程度或概率上的关联.下面介绍模糊技能形式背景的相关概念.

设 H˜1与 H˜2为G上的两个模糊集, 称 H˜1包含于 H˜2当且仅当若对于∀ g∈ G有

H˜1(g)≤ H˜2(g),

记作 H˜1⊆ H˜2.此外, 定义 H˜1与 H˜2的交与并运算:

$ \begin{array}{l} \widetilde{H}_{1} \cap \widetilde{H}_{2}=\left\{\left.\frac{\widetilde{H}_{1}(g) \wedge \widetilde{H}_{2}(g)}{g} \right\rvert\, g \in G\right\}, \\ \widetilde{H}_{1} \cup \widetilde{H}_{2}=\left\{\left.\frac{\widetilde{H}_{1}(g) \vee \widetilde{H}_{2}(g)}{g} \right\rvert\, g \in G\right\} . \end{array} $

定义2^[27] 称三元组$\widetilde{\Pi}=(Q, S, \widetilde{I})$为一个模糊技能形式背景, 其中, Q表示问题的有限集合, S表示技能的有限集合, I˜表示Q与S之间的模糊二元关系.

模糊技能形式背景为知识结构分析带来新的挑战和机遇.一方面, 它要求人们能更准确地描述和量化技能与问题之间的模糊关系, 揭示隐藏在其中的深层次知识结构和规律.另一方面, 它也为人们提供一种新的视角和方法, 用于理解和利用知识, 特别是在处理复杂问题和进行创新思维时.

因此, 在模糊技能形式背景下进行知识结构分析, 需要借助有效的工具和方法处理和解析这种模糊性.通过构建三支知识空间模糊概念格, 可更直观地展示技能与问题之间的模糊关系, 进而更有利于挖掘知识结构中的关键信息和规律.

本节利用三支概念分析^{[28, 29]}与模糊集刻画数据的不确定性, 建立面向知识结构分析的三支知识空间模糊概念格模型.

定义3 设$\widetilde{\Pi}=(Q, S, \widetilde{I})$, $A \in 2^{Q}$, $\widetilde{B} \in[0 , 1]^{S}$, $\widetilde{C} \in[0, 1]^{S}$.定义

$u(A)=\left(\left\{\left.\frac{\alpha_{1}}{s} \right\rvert\, s \in S\right\}, \left\{\left.\frac{\alpha_{2}}{s} \right\rvert\, s \in S\right\}\right), $

其中

$\alpha_{1}=\left\{\begin{array}{ll} \max _{q \in \Delta_{1}(A, s)} \tilde{I}(q, s), & \Delta_{1}(A, s) \neq \emptyset \\ 0, & \Delta_{1}(A, s)=\emptyset \end{array}\right.$

$\alpha_{2}=\left\{\begin{array}{ll} 1-\min _{q \in \Delta_{2}(A, s)} \tilde{I}(q, s), & \Delta_{2}(A, s) \neq \emptyset \\ 0, & \Delta_{2}(A, s)=\emptyset \end{array}\right.$

$\begin{aligned} \Delta_{1}(A, s) & =\left\{q \mid \emptyset \neq(q, s)^{\downarrow} \subseteq A, q \in Q\right\}, \\ \Delta_{2}(A, s) & =\left\{q \mid \emptyset \neq(q, s)^{\uparrow} \subseteq A, q \in Q\right\}, \\ (q, s)^{\downarrow} & =\left\{q^{\prime} \mid 0< \tilde{I}\left(q^{\prime}, s\right) \leqslant \widetilde{I}(q, s), q^{\prime} \in Q\right\}, \\ (q, s)^{\uparrow} & =\left\{q^{\prime} \mid \widetilde{I}(q, s) \leqslant \widetilde{I}\left(q^{\prime}, s\right), q^{\prime} \in Q\right\}, \end{aligned}$

并定义

$\begin{aligned} v(\widetilde{B}, \widetilde{C}) & =\left(\cup_{s \in S}\{q \in Q \mid 0< \tilde{I}(q, s) \leqslant \widetilde{B}(s)\}\right) \cup \\ & \left.\cup_{s \in S}\{q \in Q \mid 0< 1-\widetilde{I}(q, s) \leqslant \widetilde{C}(s)\}\right) . \end{aligned}$

结合Δ ₁的定义, u(A)的第一元表示解决A中问题所需的技能及其程度; 结合Δ ₂的定义, u(A)的第二元表示与解决A中问题无关的技能及其程度.v( B˜, C˜)表示 B˜能解决的与 C˜不能解决的所有问题.

定义4 设 Π˜=(Q, S, I˜), A∈ 2^Q, B˜∈ [0, 1]^S, C˜∈ [0, 1]^S.若u(A)=( B˜, C˜)且v( B˜, C˜)=A, 则称(A, ( B˜, C˜))为一个三支知识空间模糊概念.

命题1 对于A∈ 2^Q, A₁∈ 2^Q, A₂∈ 2^Q,

$ \begin{array}{l} (\widetilde{B}, \widetilde{C}) \in[0, 1]^{s} \times[0, 1]^{s}, \\ \left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right) \in[0, 1]^{s} \times[0, 1]^{s}, \\ \left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right) \in[0, 1]^{s} \times[0, 1]^{s}, \end{array} $

有

1)A₁⊆A₂⇒ u(A₁)≤ u(A₂);

$ \left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right) \leqslant\left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right) \Rightarrow v\left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right) \subseteq v\left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right) ; $

2)v(u(A))⊆A; 若∀ s∈ S,

B˜(s)≤ maxq∈Q I˜(q, s), C˜(s)≥ minq∈Q I˜(q, s),

则

$ u(v(\widetilde{B}, \widetilde{C})) \supseteq(\widetilde{B}, \widetilde{C}) ; $

3)u(A₁∩ A₂)=u(A₁)∩ u(A₂),

$ v\left(\widetilde{B}_{1} \cup \widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{1} \cup \widetilde{C}_{2}\right)=v\left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right) \cup v\left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right) ; $

4)算子u和v在(2^Q, ⊆)与([0, 1]^S× [0, 1]^S, ⊆)之间形成一个Galois连接;

5) $ (v(\widetilde{B}, \widetilde{C}), u(v(\widetilde{B}, \widetilde{C}))) $与(v(u(A)), u(A))为2个三支知识空间模糊概念.

证明 先证1).若A₁⊆A₂, 则对∀ s∈ S有

Δ ₁(A₁, s)⊆Δ ₁(A₂, s), Δ ₂(A₁, s)⊆Δ ₂(A₂, s),

进而有

maxq∈Δ1(A1, s)I˜(q, s)≤ maxq∈Δ1(A2, s)I˜(q, s)

与

1- minq∈Δ1(A1, s)I˜(q, s)≤ 1- minq∈Δ2(A2, s)I˜(q, s).

由u的定义可得u(A₁)⊆u(A₂).同理可证

$ \left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right) \leqslant\left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right) \Rightarrow v\left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right) \subseteq v\left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right) . $

再证2).对∀ q∈ v(u(A)), ∃s₁∈ S, s₂∈ S, 使得

0< I˜(q, s₁)≤ maxq'∈Δ1(A, s1)I˜(q', s₁)

或

0< 1- I˜(q, s₂)≤ 1- minq'∈Δ2(A, s2)I˜(q', s₂),

故存在q₀∈ Δ ₁(A, s₁), 使得

0< I˜(q, s₁)≤ I˜(q₀, s₁)

或存在q'₀∈ Δ ₂(A, s₂), 使得

I˜(q'₀, s₂)≤ I˜(q, s₂),

由此可知q∈ A.否则(q₀, s₁)^↑ ⊆A与(q'₀, s₂)^↑ ⊆A不成立, 推出q₀∉Δ ₁(A, s₁)与q'₀∉Δ ₂(A, s₂)矛盾.所以v(u(A))⊆A.

对于

∀ B˜(s)≤ maxq∈Q I˜(q, s), C˜(s)≥ minq∈Q I˜(q, s),

有

$ v(\widetilde{B}, \widetilde{C})=\bigcup_{s \in S} v(\widetilde{B}, \widetilde{C})(s, s), $

进而

$ \begin{array}{l} (u(v(\widetilde{B}, \widetilde{C})))(s, s)= \\ \left(\max _{q \in \Delta_{1}(v(\tilde{B}, \tilde{C}), s)} \tilde{I}(q, s), 1-\min _{q \in \Delta_{2}(v(\tilde{B}, \tilde{C}), s)} \tilde{I}(q, s)\right) \geqslant \\ \left(\max _{q^{\prime} \in v(\tilde{B}, \tilde{C})(s, s)} \tilde{I}\left(q^{\prime}, s\right), 1-\min _{q^{\prime} \in v(\tilde{B}, \tilde{C})(s, s)} \tilde{I}\left(q^{\prime}, s\right)\right)= \\ (\widetilde{B}, \widetilde{C})(s, s) \end{array} $

因此, 对于∀ s∈ S, 都有

$ (\widetilde{B}, \widetilde{C})(s, s) \leqslant(u(v(\widetilde{B}, \widetilde{C})))(s, s), $

即

$ (\widetilde{B}, \widetilde{C}) \subseteq u(v(\widetilde{B}, \widetilde{C})) $

再证3).根据u和v的定义可证.

再证4).根据1)、2)及Galois连接的定义可证.

最后证5).由于

u(v(u(A)))=u(A)

且

$ v(u(v(\widetilde{B}, \widetilde{C})))=v(\widetilde{B}, \widetilde{C}), $

可知$ (v(\widetilde{B}, \widetilde{C}) $, $ u(v(\widetilde{B}, \widetilde{C}))) $与(v(u(A)), u(A))是2个三支知识空间模糊概念. 证毕

建立三支知识空间模糊概念之间的偏序关系如下:

$ \begin{aligned} \left(A_{1}, \left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right)\right) & \leqslant\left(A_{2}, \left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right)\right) \Leftrightarrow \\ & A_{1} \subseteq A_{2} \Leftrightarrow\left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right) \leqslant\left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right), \end{aligned} $

则模糊技能形式背景的所有三支知识空间模糊概念在此偏序关系下构成一个层次结构, 记作TKSL( Π˜), 其结构由定理1确定.

定理1 设 Π˜=(Q, S, I˜)为一个模糊技能形式背景, 则TKSL( Π˜)为一个完全格, 且任意2个三支知识空间模糊概念$\left(A_{1}, \left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right)\right) $和$\left(A_{2}, \left(\widetilde{B}_{2}\right.\right. , \left.\left.\widetilde{C}_{2}\right)\right) $的上确界与下确界定义如下:

$\begin{array}{l} \left(A_{1}, \left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right)\right) \vee\left(A_{2}, \left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right)\right)= \\ \quad\left(A_{1} \cup A_{2}, u\left(v\left(\widetilde{B}_{1} \cup \widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{1} \cup \widetilde{C}_{2}\right)\right)\right), \end{array}$

$\begin{array}{l} \left(A_{1}, \left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right)\right) \wedge\left(A_{2}, \left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right)\right)= \\ \quad\left(v\left(u\left(A_{1} \cap A_{2}\right)\right), \left(\widetilde{B}_{1} \cap \widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{1} \cap \widetilde{C}_{2}\right)\right) . \end{array}$

证明 因为Q与S是有限的, 所以TKSL( Π˜)也是有限的.因此, 若能证明TKSL( Π˜)是一个格, 则可证明TKSL( Π˜)为一个完全格.

一方面, 对于任意一个三支知识空间模糊概念(A, ( B˜, C˜)), 都有v( B˜, C˜)=A, 因此根据命题1中3)有,

$\begin{aligned} A_{1} \cup A_{2}= & v\left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right) \cup v\left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right)= \\ & v\left(\widetilde{B}_{1} \cup \widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{1} \cup \widetilde{C}_{2}\right), \end{aligned}$

进而有

$\begin{aligned} \left(A_{1} \cup A_{2}, \right. & \left.u\left(v\left(\widetilde{B}_{1} \cup \widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{1} \cup \widetilde{C}_{2}\right)\right)\right)= \\ & \left(v\left(\left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right) \cup\left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right)\right), \right. \\ & \left.u\left(v\left(\widetilde{B}_{1} \cup \widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{1} \cup \widetilde{C}_{2}\right)\right)\right) . & \end{aligned}$

根据命题1中5)可知,

$\left(v\left(\widetilde{B}_{1} \cup \widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{1} \cup \widetilde{C}_{2}\right), u\left(v\left(\widetilde{B}_{1} \cup \widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{1} \cup \widetilde{C}_{2}\right)\right)\right)$

为一个三支知识空间模糊概念, 进而得到

$\left(A_{1} \cup A_{2}, u\left(v\left(\widetilde{B}_{1} \cup \widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{1} \cup \widetilde{C}_{2}\right)\right)\right)$

为一个三支知识空间模糊概念.

另一方面, 由于A₁⊆A₁∪ A₂, A₂⊆A₁∪ A₂可知

$\left(A_{1} \cup A_{2}, u\left(v\left(\widetilde{B}_{1} \cup \widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{1} \cup \widetilde{C}_{2}\right)\right)\right)$

为$\left(A_{1}, \left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right)\right)$和$\left(A_{2}, \left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right)\right) $的一个上界.此外, 对于$\left(A_{1}, \left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right)\right)$和$\left(A_{2}, \left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right)\right)$的任意一个上界$(A, (\widetilde{B}, \widetilde{C}))$, 都有A⊇A₁∪ A₂.据此有

$\begin{array}{l} ((A, (\widetilde{B}, \widetilde{C})) \geqslant \\ \quad\left(A_{1} \cup A_{2}, u\left(v\left(\widetilde{B}_{1} \cup \widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{1} \cup \widetilde{C}_{2}\right)\right)\right), \end{array}$

进而可知

$\left(A_{1} \cup A_{2}, u\left(v\left(\widetilde{B}_{1} \cup \widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{1} \cup \widetilde{C}_{2}\right)\right)\right)$

为(A₁, ( B˜1, C˜1))和(A₂, ( B˜2, C˜2))的最小上界.

综上可得

$\begin{array}{l} \left(A_{1}, \left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right)\right) \vee\left(A_{2}, \left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right)\right)= \\ \quad\left(A_{1} \cup A_{2}, u\left(v\left(\widetilde{B}_{1} \cup \widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{1} \cup \widetilde{C}_{2}\right)\right)\right) . \end{array}$

同理可证

$\begin{array}{l} \left(A_{1}, \left(\widetilde{B}_{1}, \widetilde{C}_{1}\right)\right) \wedge\left(A_{2}, \left(\widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{2}\right)\right)= \\ \quad\left(v\left(u\left(A_{1} \cap A_{2}\right)\right), \left(\widetilde{B}_{1} \cap \widetilde{B}_{2}, \widetilde{C}_{1} \cap \widetilde{C}_{2}\right)\right) . \end{array}$

证毕

给定一个模糊技能形式背景 Π˜=(Q, S, I˜), 称TKSL( Π˜)为 Π˜的三支知识空间模糊概念格.

例3 一个模糊技能形式背景 Π˜如表2所示(文献[27]中的模糊技能形式背景).

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 模糊技能形式背景 Π˜ Table 2 Fuzzy skill formal context Π˜ s1 s2 s3 s4 q1 0 0.6 0.8 0 q2 0.8 0 0.7 0.6 q3 0 0.7 0 0 q4 0 0.5 0.9 0 q5 0 0 0.7 0

表2 模糊技能形式背景 Π˜ Table 2 Fuzzy skill formal context Π˜

对于表2中的模糊技能形式背景 Π˜, 令

A={q₂, q₃, q₄, q₅}.

由于

(q₁, s₃)^↓ ={q₁, q₂, q₅}, (q₂, s₃)^↓ ={q₂, q₅},
(q3_, s3₎↓ ⁼Ø , (q4_, s3₎↓ ⁼{q1_, q2_, q4_, q5_},
(q5, _s3)_↓ =^{q2, _q5}_,

可知

Δ ₁(A, s₃)={q₂, q₅}.

类似地, 可得

Δ ₁(A, s₁)={q₂}, Δ ₁(A, s₂)={q₄},
Δ 1₍A, s4₎={q2_}.

由于

(q₁, s₃)^↑ ={q₁, q₄}, (q₂, s₃)^↑ ={q₁, q₂, q₄, q₅},
(q3_, s3₎↑ ⁼{q1_, q2_, q3_, q4_, q5_}, (q4_, s3₎↑ ⁼{q4_},
(q5, _s3)_↑ =^{q1, _q2, _q4, _q5}_,

可知

Δ ₂(A, s₃)={q₄}.

类似地, 可得

Δ ₂(A, s₁)={q₂}, Δ ₂(A, s₂)={q₃},
Δ 2₍A, s4₎={q2_}.

因此

$\begin{array}{l} u(A)= \\ \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.5}{s_{2}}, \frac{0.7}{s_{3}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.3}{s_{2}}, \frac{0.1}{s_{3}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right) . \end{array}$

令

$\begin{array}{l} (\widetilde{B}, \widetilde{C})= \\ \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.5}{s_{2}}, \frac{0.7}{s_{3}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.3}{s_{2}}, \frac{0.1}{s_{3}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right) . \end{array}$

可得

$v((\widetilde{B}, \widetilde{C}))=\left\{q_{2}, q_{3}, q_{4}, q_{5}\right\} .$

综上, 可知

$\begin{array}{l} \left(\left\{q_{2}, q_{3}, q_{4}, q_{5}\right\}, \right. \\ \left.\left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.5}{s_{2}}, \frac{0.7}{s_{3}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.3}{s_{2}}, \frac{0.1}{s_{3}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)\right) \end{array}$

为一个知识空间模糊三支概念.

表2中 Π˜诱导的三支知识空间模糊概念格如图1所示, 相应节点信息如下:

$\begin{array}{l} \varepsilon_{1}:\left(\left\{q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}, q_{5}\right\}, \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.7}{s_{2}}, \frac{0.9}{s_{3}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{1}{s_{1}}, \frac{1}{s_{2}}, \frac{1}{s_{3}}, \frac{1}{s_{4}}\right\}\right)\right) ; \\ \varepsilon_{2}:\left(\left\{q_{2}, q_{3}, q_{4}, q_{5}\right\}, \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.5}{s_{2}}, \frac{0.7}{s_{3}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.3}{s_{2}}, \frac{0.1}{s_{3}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)\right) ; \\ \varepsilon_{3}:\left(\left\{q_{1}, q_{2}, q_{4}, q_{5}\right\}, \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.6}{s_{2}}, \frac{0.9}{s_{3}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.3}{s_{3}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)\right) ; \\ \varepsilon_{4}:\left(\left\{q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{5}\right\}, \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.8}{s_{3}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.4}{s_{2}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)\right) ; \\ \varepsilon_{5}:\left(\left\{q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}\right\}, \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.7}{s_{2}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.5}{s_{2}}, \frac{0.2}{s_{3}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)\right) ; \end{array}$

$\begin{array}{l} \varepsilon_{6}:\left(\left\{q_{1}, q_{2}, q_{3}\right\}, \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.4}{s_{2}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)\right) ; \\ \varepsilon_{7}:\left(\left\{q_{1}, q_{2}, q_{4}\right\}, \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.6}{s_{2}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.2}{s_{3}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)\right) ; \\ \varepsilon_{8}:\left(\left\{q_{2}, q_{4}, q_{5}\right\}, \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.5}{s_{2}}, \frac{0.7}{s_{3}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.1}{s_{3}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)\right) ; \\ \varepsilon_{9}:\left(\left\{q_{2}, q_{3}, q_{5}\right\}, \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.7}{s_{3}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.3}{s_{2}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)\right) ; \\ \varepsilon_{10}:\left(\left\{q_{2}, q_{3}, q_{4}\right\}, \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.5}{s_{2}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.3}{s_{2}}, \frac{0.1}{s_{3}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)\right) ; \\ \varepsilon_{11}:\left(\left\{q_{1}, q_{3}, q_{4}\right\}, \left(\left\{\frac{0.7}{s_{2}}\right\}, \left\{\frac{0.5}{s_{2}}, \frac{0.2}{s_{3}}\right\}\right)\right) ; \end{array}$

$\begin{array}{l} \varepsilon_{12}:\left(\left\{q_{1}, q_{2}, q_{5}\right\}, \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.8}{s_{3}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)\right) \\ \varepsilon_{13}:\left(\left\{q_{3}, q_{4}\right\}, \left(\left\{\frac{0.5}{s_{2}}\right\}, \left\{\frac{0.3}{s_{2}}, \frac{0.1}{s_{3}}\right\}\right)\right) \\ \varepsilon_{14}:\left(\left\{q_{2}, q_{5}\right\}, \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.7}{s_{3}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)\right) \end{array}$

$\begin{array}{l} \varepsilon_{15}:\left(\left\{q_{2}, q_{4}\right\}, \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.5}{s_{2}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.1}{s_{3}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)\right) \\ \varepsilon_{16}:\left(\left\{q_{2}, q_{3}\right\}, \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.3}{s_{2}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)\right) ; \\ \varepsilon_{17}:\left(\left\{q_{1}, q_{4}\right\}, \left(\left\{\frac{0.6}{s_{2}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{3}}\right\}\right)\right) ; \\ \varepsilon_{18}:\left(\left\{q_{1}, q_{3}\right\}, \left(\emptyset, \left\{\frac{0.4}{s_{2}}\right\}\right)\right) ; \\ \varepsilon_{19}:\left(\left\{q_{2}\right\}, \left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}, \frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}, \frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)\right) ; \\ \varepsilon_{20}:\left(\left\{q_{3}\right\}, \left(\varnothing, \left\{\frac{0.3}{s_{2}}\right\}\right)\right) ; \\ \varepsilon_{21}:\left(\left\{q_{4}\right\}, \left(\left\{\frac{0.5}{s_{2}}\right\}, \left\{\frac{0.1}{s_{3}}\right\}\right)\right) ; \\ \varepsilon_{22}:(\varnothing, (\varnothing, \varnothing)) . \end{array}$

图1

Fig.1

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	图1 三支知识空间模糊概念格TKSL( Π˜)Fig.1 Three-way knowledge space fuzzy concept lattice

TKSL( Π˜)

定义5 设 Π˜=(Q, S, I˜)为一个模糊技能形式背景.若有

I˜(q, s)=t> 0,

则称

$\left(v\left(\left\{\frac{t}{s}\right\}, \varnothing\right), u\left(v\left(\left\{\frac{t}{s}\right\}, \varnothing\right)\right)\right)$

为技能 ts诱导的正三支知识空间模糊概念, 简称技能诱导正概念, 并称$v\left(\left\{\frac{t}{s}\right\}, \varnothing\right)$为技能 ts诱导的问题正原子粒, $ \left(\left\{\frac{t}{s}\right\}, \varnothing\right)$为其标签.称

$\left(v\left(\emptyset, \left\{\frac{1-t}{s}\right\}\right), u\left(v\left(\emptyset, \left\{\frac{1-t}{s}\right\}\right)\right)\right)$

为技能 ts诱导的负三支知识空间模糊概念, 简称技能诱导负概念, 并称$v\left(\varnothing, \left\{\frac{1-t}{s}\right\}\right)$为技能 ts诱导的问题负原子粒, $ \left(\varnothing, \left\{\frac{1-t}{s}\right\}\right)$为其标签.问题正原子粒与问题负原子粒合称原子粒.若G为一个原子粒, 其标签记为l(G).此外, 包含 Π˜的全体原子粒的集合记为Σ .

例4 (续例3) 表2中 Π˜的原子粒及其标签见表3, 并且有

Σ ={{q₁, q₂, q₄, q₅}, {q₁, q₂, q₅}, {q₁, q₃, q₄},
{q2_, q5_}, {q1_, q4_}, {q1_, q3_}, {q2_}, {q3_}, {q4_}}.

由表3可看到, 一个原子粒可有多个标签.例如:原子粒{q₂}有4个标签, 分别是$\left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}\right\}, \varnothing\right)$、$\left(\left\{\frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \varnothing\right)$、$\left(\varnothing, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}\right\}\right)$、$\left(\varnothing, \left\{\frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)$.

表3

Table 3

表3(Table 3)

表3 Π˜的原子粒 Table 3 Atomic granules of Π˜ 问题原子粒 标签 问题原子粒 标签 {q2} $\left(\left\{\frac{0.8}{s_{1}}\right\}, \varnothing\right), \left(\left\{\frac{0.6}{s_{4}}\right\}, \varnothing\right), \left(\varnothing, \left\{\frac{0.2}{s_{1}}\right\}\right), \left(\varnothing, \left\{\frac{0.4}{s_{4}}\right\}\right)$ {q2, q5} $\left(\left\{\frac{0.7}{s_{3}}\right\}, \varnothing\right)$ {q4} $\left(\left\{\frac{0.5}{s_{2}}\right\}, \varnothing\right), \left(\varnothing, \left\{\frac{0.1}{s_{3}}\right\}\right)$ {q1, q2, q5} $\left(\left\{\frac{0.8}{s_{3}}\right\}, \varnothing\right)$ {q1, q4} $\left(\left\{\frac{0.6}{s_{2}}\right\}, \varnothing\right), \left(\varnothing, \left\{\frac{0.2}{s_{3}}\right\}\right)$ {q1, q2, q4, q5} $\left(\left\{\frac{0.9}{s_{3}}\right\}, \varnothing\right), \left(\varnothing, \left\{\frac{0.3}{s_{3}}\right\}\right)$ {q1, q3, q4} $\left(\left\{\frac{0.7}{s_{2}}\right\}, \varnothing\right), \left(\varnothing, \left\{\frac{0.5}{s_{2}}\right\}\right)$ {q1, q3} $\left(\varnothing, \left\{\frac{0.4}{s_{2}}\right\}\right)$ {q3} $\left(\varnothing, \left\{\frac{0.3}{s_{2}}\right\}\right)$

表3 Π˜的原子粒 Table 3 Atomic granules of Π˜

定理2 设 Π˜=(Q, S, I˜), X⊆Q.若∃Ω ⊆Σ , 使得$\cup_{G \in \Omega} G=X$, 则X为 Π˜的三支知识空间中的一个三支知识状态.

证明 显然, 对∀ G∈ Σ , (G, u(G))为 Π˜的一个三支知识空间模糊概念.由定理1可得

$\left(\cup_{G \in \Omega} G, u\left(v\left(\cup_{G \in \Omega} u(G)\right)\right)\right)$

也为 Π˜的一个三支知识空间模糊概念.又$X=\cup_{G \in \Omega} G$, 则$\left(X, u\left(v\left(\cup_{G \in \Omega} u(G)\right)\right)\right)$为 Π˜的一个知识空间模糊概念, 进而可知X为 Π˜的三支知识空间中的一个三支知识状态. 证毕

例5 (续例4) 对于表2中的模糊技能形式背景 Π˜, 令X={q₁, q₂, q₃, q₅}.因为{q₁, q₂, q₅}与{q₃} 为 Π˜的两个原子粒且

X={q₁, q₂, q₅}∪ {q₃},

因此, X={q₁, q₂, q₃, q₅}为 Π˜的三支知识空间中的一个三支知识状态.

定义6 设 Π˜=(Q, S, I˜)为一个模糊技能形式背景, Σ 为 Π˜的原子粒的集合, G₁∈ Σ , G₂∈ Σ .定义Σ 上的偏序关系为

G₁≤ G₂ ⇔ G₁⊆G₂,

则称(Σ , ≤ )为原子粒直观图.

原子粒直观图源自文献[30], 原用于二值形式背景下原子粒间关系的刻画.本文将其推广应用于模糊技能形式背景, 实现对问题原子粒之间关系的新刻画.

例6 (续例4) 表2中 Π˜的原子粒直观图(Σ , ≤ )如图2所示.

图2

Fig.2

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	图2 Π˜的原子粒直观图(Σ , ≤ )Fig.2 Atomic granule pictorial diagram (Σ , ≤ ) of Π˜

直观图体现原子粒之间的包含关系, 有利于实现知识状态的快速判定.鉴于基于直观图的知识状态的判定实现简单, 这里不再赘述.

在知识结构建模中, 概念格模型可广泛应用于学习路径规划^[31]、推荐及巩固学习^[32]等任务.作为现有知识空间模糊概念格在三支决策思想下的推广, 三支知识空间模糊概念格同样可推广至上述任务.

引入三支决策思想后, 三支知识空间模糊概念格对知识状态的刻画能力得以增强, 能囊括更多情形, 而刻画能力的增强自然带来学习路径选择更加多样化的结果.

具体而言, 在某一具体知识状态下, 下一步可推荐学习的知识状态数量随之增加, 从而更有利于指导学习者的个性化学习.

此外, 三支概念格模型还能为知识结构分析提供更深入的理解.通过对概念格中不同节点的分析, 可揭示知识结构中的关键概念和核心技能, 以及它们之间的内在联系和相互作用.这种分析有助于更好地理解知识的本质和规律, 为教学和学习提供有力的支持.

本小节研究问题数量|Q|、技能数量|S|、填充因子(Fill Ratio)r及分析尺度(Analysis Scale)对三支知识空间模糊概念格和不带负属性的知识空间模糊概念格的规模的影响.

填充因子是指在模糊技能形式背景中非零项的比重, 即

r= |{I˜(q, s)I˜(q, s)≠0, I˜(q, s)∈I˜}|I˜.

分析尺度指填充数据的非零精度取值个数.例如:若取分析尺度为5, 则 I˜(q, s)的取值范围为{0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1}.一般地, 若取分析尺度为n, 则 I˜(q, s)的取值范围为

$\left\{0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n}, 1\right\} .$

实验随机生成不同规模的模糊技能形式背景.同时, 采用重复实验取平均值, 以此增强结果的客观性.

1)问题数量对概念格规模的影响.在保持技能数量、填充因子及分析尺度不变的前提下, 逐步改变问题数量, 研究问题数量与概念格规模的关系.

实验中设定|S|=10, 填充因子r=0.5, 取分析尺度为10.问题数量与概念格规模的关系如图3所示.由图可见, 当问题数量增加时, 两类概念格规模均随之增长, 但三支知识空间模糊概念格不仅规模显著大于知识空间模糊概念格, 且增长速度也明显快于知识空间模糊概念格.

图3

Fig.3

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	图3 问题数量与概念格规模的关系Fig.3 Relationship between the number of problems and the size of concept lattice

2)技能数量对概念格规模的影响.设定|Q|=15, 填充因子r=0.5, 分析尺度为10, 采用随机方式生成模糊技能形式背景.

具体技能数量与概念格规模的关系如图4所示.由图可见, 技能数量与概念格规模呈正相关, 两类概念格的规模均随技能数量增加而上升.进一步对比可知, 三支知识空间模糊概念格不仅规模增长更快, 总体规模也远大于知识空间模糊概念格.

图4

Fig.4

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	图4 技能数量与概念格规模的关系Fig.4 Relationship between the number of skills and the size of concept lattice

3)填充因子对概念格规模的影响.实验设定|Q|=|S|=15, 分析尺度取10, 逐渐增大填充因子, 采用随机方式生成模糊技能形式背景.

具体填充因子与概念格规模的关系如图5所示.由图可见, 填充因子对概念格规模未见显著影响, 非主要影响因素.同时, 无论填充因子取何值, 三支知识空间模糊概念格的规模均远大于知识空间模糊概念格的规模.

图5

Fig.5

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	图5 填充因子与概念格规模的关系Fig.5 Relationship between the fill factor and the size of concept lattice

4)分析尺度对概念格规模的影响.实验设定|Q|=|S|=15, 填充因子r=0.5, 逐步增大分析尺度, 记录概念格规模的变化.

具体分析尺度与概念格规模的关系如图6所示.由图可见, 增大分析尺度会使三支知识空间模糊概念格与知识空间模糊概念格的规模均逐步上升, 且三支知识空间模糊概念格的规模始终远大于知识空间模糊概念格.

图6

Fig.6

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	图6 分析尺度与概念格规模的关系Fig.6 Relationship between the analysis scale and the size of concept lattice

综合上述分析, 可归纳出如下结论.1)问题数量、技能数量及分析尺度与概念格规模(包括三支知识空间模糊概念格与知识空间模糊概念格)呈显著正相关, 其规模随各因素取值增大而扩大.2)在既定模糊技能形式背景下, 三支知识空间模糊概念格的规模均远大于知识空间模糊概念格, 且二者之间的差异在不同条件下保持稳定.

作为单边模糊概念格^[33]的一种, 面向知识结构分析的三支知识空间模糊概念格的外延和内涵分别为经典集与模糊集.下面将进一步分析该模型与经典三支模糊概念格模型之间的关系.

设三元组 Z˜=(G, M, R˜)为一个模糊形式背景, X˜为G上的模糊集, Y˜为M上的模糊集.定义从[0, 1]^G到[0, 1]^M的4个运算N, N¯, P, P¯如下:

$\begin{array}{l} \widetilde{X}^{N}(m)=\bigwedge_{g \in G}(\widetilde{R}(g, m) \rightarrow \widetilde{X}(g)), \\ \widetilde{X}^{\bar{N}}(m)=\bigwedge_{g \in G}(\sim \widetilde{R}(g, m) \rightarrow \widetilde{X}(g)), \\ \widetilde{X}^{P}(m)=\bigvee_{g \in G}(\widetilde{X}(g) * \widetilde{R}(g, m)), \\ \widetilde{X}^{\bar{P}}(m)=\bigvee_{g \in G}(\widetilde{X}(g) * \sim \widetilde{R}(g, m)) . \end{array}$

对偶地, 定义从[0, 1]^M到[0, 1]^G的4个运算N, N¯, P, P¯如下:

$\begin{array}{l} \widetilde{Y}^{N}(g)=\bigwedge_{m \in M}(\widetilde{R}(g, m) \rightarrow \widetilde{Y}(m)), \\ \widetilde{Y}^{\bar{N}}(g)=\bigwedge_{m \in M}(\sim \widetilde{R}(g, m) \rightarrow \widetilde{Y}(m)), \\ \widetilde{Y}^{P}(g)=\bigvee_{m \in M}(\widetilde{Y}(m) * \widetilde{R}(g, m)), \\ \widetilde{Y}^{\bar{P}}(g)=\bigvee_{m \in M}(\sim \widetilde{Y}(m) * \widetilde{R}(g, m)) . \end{array}$

通常, 分别称P, P¯, N, N¯为可能性正算子、可能性负算子、必然性正算子和必然性负算子^[34].

定义7 设 F˜=(G, M, R˜)为一个模糊形式背景, X˜∈ [0, 1]^G, Y˜∈ [0, 1]^M, Z˜∈ [0, 1]^M.若

X˜^N= Y˜, X˜N¯= Z˜, Y˜^P∪ Z˜P¯= X˜,

则称二元组( X˜, ( Y˜, Z˜))为 F˜的一个三支面向对象模糊概念, X˜和( Y˜, Z˜)分别称为此三支面向对象模糊概念的外延和内涵.

下面分析是否存在与三支知识空间模糊概念实质等价的三支面向对象单边模糊概念.

如本节前文所述, 从[0, 1]^G到[0, 1]^M的必然性正算子N与必然性负算子 N¯的定义如下:

$\begin{array}{l} \widetilde{X}^{N}(m)=\bigwedge_{g \in G}(\widetilde{R}(g, m) \rightarrow \widetilde{X}(g)), \\ \widetilde{X}^{\bar{N}}(m)=\bigwedge_{g \in G}(\sim \widetilde{R}(g, m) \rightarrow \widetilde{X}(g)) . \end{array}$

要得到三支面向对象单边模糊概念, 就必须得到从2^G到[0, 1]^M的必然性正算子N与必然性负算子 N¯, 实质上是限制 X˜(g)从集合{0, 1}中取值.当 X˜(g)取1时, R˜(g, m)→ X˜(g)与~ R˜(g, m)→ X˜(g)恒等于1.当 X˜(g)取0时, 意味着g不属于要分析的对象集.由此可知无法定义有效的从2^G到[0, 1]^M的必然性正算子N和必然性负算子 N¯, 从而也不能定义外延为经典集、内涵为模糊集的面向对象单边模糊概念.

因此, 三支知识空间模糊概念既有别于已有的三支概念, 又无法由其它三支概念衍生而来, 是一类结构独特的三支模糊概念.

对于给定的模糊技能形式背景, 可采用多种去模糊化方法.其中, 最简单且最普遍的做法是设定阈值并对模糊二元关系取截集, 进而将模糊背景转化为二值背景.此转化过程在保留关键信息的同时, 有效简化后续的分析与计算工作.

例7 对于表2的模糊技能形式背景 Π˜, 取λ =0.5得到的二值技能形式背景Π 如表4所示.

表4

Table 4

表4(Table 4)

表4 Π˜诱导的二值技能形式背景Π Table 4 Binary skill formal context Π induced by Π˜ s1 s2 s3 s4 q1 0 1 1 0 q2 1 0 1 1 q3 0 1 0 0 q4 0 1 1 0 q5 0 0 1 0

表4 Π˜诱导的二值技能形式背景Π Table 4 Binary skill formal context Π induced by Π˜

对于一个二值技能形式背景Π =(Q, S, R), 定义3中的算子u与v退化为

u(A)=({s∈ S|s^* ⊆A},
{s∈ S|(Q-s* ⁾⊆A}),
g(B, C)={q∈ Q|q* ∩ ^B≠ Ø }∪
{q∈ Q|(S-q* )∩ ^C≠ Ø },

其中

q^* ={s∈ S|R(q, s)=1},
s* ⁼{q∈ Q|R(q, s)=1}.

运用上述运算符, 对二值技能形式背景中的三支知识空间概念执行运算, 生成的三支知识空间概念格如图7所示, 相应节点信息如下:

E₁:(Q, (S, S));

E₂:({q₁, q₂, q₄, q₅}, ({s₁, s₃, s₄}, {s₂}));

E₃:({q₂, q₃, q₅}, ({s₁, s₄}, {s₂, s₃}));

E₄:({q₁, q₂, q₃, q₄}, ({s₁, s₂, s₄}, {s₃}));

E₅:({q₁, q₃, q₄, q₅}, ({s₂}, {s₁, s₃, s₄}));

E₆:({q₂, q₅}, ({s₁, s₄}, {s₂}));

E₇:({q₂, q₃}, ({s₁, s₄}, {s₃}));

E₈:({q₁, q₃, q₄}, ({s₂}, {s₃}));

E₉:({q₂}, ({s₁, s₄}, Ø ));

E₁₀:({q₃}, (Ø , {s₃}));

E₁₁:(Ø , (Ø , Ø )).

图7

Fig.7

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图7 Π 的三支知识空间概念格TKSL(Π )Fig.7 Three-way knowledge space concept lattice TKSL(Π ) of Π

事实上, 对于一个二值技能形式背景Π =(Q, S, R), 若将Q视作对象集合, S视为属性集合, 那么在这种设定下, 三支知识空间的概念格结构本质上是面向对象概念格的特殊形式, 即三支面向对象概念格^[35].由此可见, 三支知识空间概念格凭借其独特的语义, 在与面向对象概念格关联后, 能进一步拓宽其理论内涵与应用场景.

本文从三支决策视角出发, 基于知识空间与知识状态理论, 构建模糊技能形式背景下的三支知识空间模糊概念格, 并分别探讨该概念格与现有三支模糊概念格模型及模糊与二值两种技能形式背景下概念格之间的联系.需要指出的是, 三支知识空间模糊概念具有独立的理论来源与构造方式, 不同于现有的任何概念类型, 也无法由其它概念派生而来, 是一种具有独特结构的三支模糊概念.实验表明, 在给定模糊技能形式背景下, 相比未考虑负属性的知识空间模糊概念格, 三支知识空间模糊概念格包含更多数量的概念.

面向知识结构分析的三支模糊概念格模型不仅可直接应用于学习者学习状态测评与学习路径规划, 也为基于形式概念分析的不确定性分析研究提供有益的理论参考与方法借鉴.为了提升大规模数据分析场景中的效率与可解释性, 后续需重点关注三支知识空间模糊概念格的渐进式与分布式构造、其与现有概念格模型的联系与转化, 及基于概念认知学习机制的概念获取等问题.此外, 融合多粒度与多层次分析方法, 探讨学习路径的良级性, 同样是一个值得深入研究的重要课题.

本文责任编委 张燕平

Recommended by Associate Editor ZHANG Yanping